近日，纽约商务出版社在美隆重出版了中国著名学者敢峰的重要著作《四色定理登顶证明》。

敢峰先生是当代中国的著名教育家、思想家和科学家，也是一位探索型的实干家。他自诩为是飞鹰与蚂蚁相统一的“鹰蚁人”。他就是以“鹰蚁人”的身份，闯入四色问题证明的。积四十年或断或续的探索和奋战，从一证、二证、三证到四证，经历了“一槌定音”、“绝地求证”、“五星图上四色仙子舞”，到近三年所作的最后的登顶证明，如登层楼。这次将其“四证”交付纽约商务出版社出版，同时将前三证作为附录列入，以保持当时的认识状况和证明的历史原貌，一句未删，一字未改。这种治学严的精神，令人肃然起敬。

纽约商务出版社总编辑冰凌表示，作为一个出版者，有缘出版敢峰先生这部“横空出世”的、奋战数学四色问题的惊世之作，非常兴奋。对出版社来说，也是共同的担当。敢峰先生对四色问题的证明，是站得很高的。这部书的一大特色，是从认识论、方法论的高度，观察、分析和证明四色定理的。正如他自己所说，是图论中的一场数学革命。即：冲破了归纳图论的桎梏，在新的证明阶段和新的证境下，根据新的重大发现，确立“反求构图，正面证明”证略，用新创建的转型演绎（演绎筛法），开拓终极证明四色定理之路，最后终于不可避免地构建成功终极证明四色定理的终极构形图，使四色定理得到终极证明，从自在的必然王囯转変为自为的自由王国。

冰凌说，这个证明横空岀世，是举世独一，是中国学者对全球所作出的重大贡献，对学术界和各个领域都具有启示意义。

《四色定理登顶证明》分为前庭和上、中、下三编。前庭除序以外，有一个开门见山，统领全书的巨幅“置顶证语”，和一个简明的纲要。上编为大开篇。中编是登顶证明进行曲。下编是辨异、四色可解（可染）定律及其他。文后还有作者过去的一证、二证、三证和四环演绎（对角转型演绎）4个附录。整个展现了作者近30多年对四色问题研究一以贯之、逐步登高的历程。倪振良的报告文学《九天揽月：敢峰对四色定理的证明》，作为并蒂莲，一并编于书中。

敢峰：《四色定理登顶证明》序

         作者：敢峰

“不惧飞沙，谁在作画？大漠孤烟，长河落日，窟内菩萨，统统都无价。我援孤烟为笔，落日作砚，笑展长空为纸，四色就把万象画。”

“这是在大白天做梦啊！”你说的也没错，这是《梦中吟》。连莫高窟我还没有去过呢。

 但是，现在梦已早醒了。经过长时间的上下求索，发现了“四色妖魔”现象，使我警觉，奋起同“四色妖魔”博弈。千山万水，攻关掠阵，终于使“四色妖魔”降服，转变为“四色仙子”。梦，已成为活生生的现实了啊！“四色仙子”现在就在这里。你们愿意先相互认识一下吗？…

“您好！我原来就是四色妖魔，现在转变为四色仙子。先生，您是⋯，我们曾经打过交道啊！”“啊！啊！我想不起来。⋯我不认识您！”

“那时的四色王国，是神秘的自在的必然王国。我是国王。你们闯了进来，要证明四色定理，把我拉下宝座，我能容许吗？因此，在路上挖了很多陷阱，装修成五星级酒店。哈哈！许多证者兴高彩烈，跌进了陷阱，却以为得到了证明。还有的迷路在丛林中，走不岀来。这位“任它满头白，但留两鬓青”的老人，发现了诡秘，採取“反求构图，正面证明”证略，用转型演绎一路跨越陷阱，同我博弈，布下天罗地网，迫使我终于归降，变为四色仙子。四色定理的自在的必然王国，终于变成了自为的自由王国。四色定理终于得证。”

“真是匪夷所思，闻所未闻。就这样简单吗？”证者一脸迷茫。

“四色仙子”是在点破“天机”啊！要跨越“四色陷阱”，走岀构图迷宫。怎么你还不明白？

四色问题的终极证明，是在图论领域发生的一场数学革命。

终极证明四色定理，要有大视野，大智慧。第一，要有重大发现。第二，要有悟性。第三，要有拓扑思维，第四，要清醒和聪明应对。⋯最后的结果，是要不可避免地用转型演绎抅建成功终极证明构形图，在图中开启正面证明。这是一盘大棋。千山万水，关山难越，隔着四色妖魔“天崭”啊！但在证途中，却又风光无尽，惊险与精采纷呈。何简单之有？

“谁道崤函千古险，回看只见一丸泥。”（林则徐诗句）这是回头看。我从上个世纪80年代初开始关注和研究四色问题，最先，主要是用自己的手开发自己的大脑，首重探索，终于发现了“四色妖魔”现象。在坚持同“四色妖魔”的博弈中，创立了转型演绎（演绎筛法）。当时称为“可控换色演绎”。分为四环演绎（对角转形演绎）和三环演绎（邻角转型演绎）两种。一开一合，吐故纳新。筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路。总称“锁阵运筹”。据此，终于经过20步对角转型演绎，构建成功环五轮图的全部双环交叉线路集合，即：证明四色定理的终极构形图，从而不可避免得到了四色定理“一槌定音”的证明。2008年删改为《四色定理简证》。石沉大海多年后，雷明和张彧典两位数十年的四色问题研究者，同我取得了联系，对我的这个证明给予了很高评价。由此，四色月亮再次升上心头。马不停蹄，日夜兼程，连续作出了二证（“绝地之证”）、三证（五轮图上“四色仙子”舞的“孔雀开屏”证明），接着又用了四年时间，十易其稿，终于完成了四证：四色定理之“登顶”证明。

浮云会很快飘散，而巨石只能沉于大海。

证明的历史过程不可忘，不能割断。为便于证者、读者了解整个证明过程，借此发表四证的机会，我把一证、二证、三证作为附录。这三个证明也都是终极证明。为保留历史原貌，即使在某些问题上认识有变化，或者存在错误，或者表述不当、不清楚，我均未作任何改动。

特别要強调的是：在四证开头，我首先写了一个“置顶证语”和“纲要”，便于证者和读者掌控全局。整个精华大多统一集中在“置顶证语”中。这是一个“大头娃娃”。不看全文，看看“置顶证语”就好。会有兴味的。云中月，雾中花，更增魅力啊！比喻游香山，不爬鬼见愁，也可赏红叶。各界人士，还有大学生和部分高中学生，我估计都能大体或者部分看明白是怎么回事。似懂非懂，也是求知过程中经常遇到的一种过渡境界。特别是数学界和哲学社会科学界人士，我衷心希望能听到各位的“高山回响”。

数学四色问题，不是一个与世无涉的冷问题，而是一个关联各个领域的热问题。理应引起各个领域的重视。

数学四色问题，不是一个纯数学问题。其终极证明离不开认识论和方法论的引领。

数学四色问题的终极证明，从图论自身来说，要突破归纳图论的局限，跨入演绎-博弈图论。这就是应运而生的终极证明四色问题的新数学。

要重视民间对四色问题的研究。把数学殿堂同民间研究连结起来。

几十年的老友、国家一级作家、《深圳传奇》的作者倪振良于2020年12月先期在《世界头条》网上发表的《九天揽月》报告文学，经二、三十家各国网站转发，已广传全球。经作者同意，作为“并蒂莲”，一併编入书中。

“晴雨由天，毁誉由人，路由我走。能同真理站在一起，就是顶天立地之人。”这就是我的治学铭。至于这本书出版后的命运如何，那就由它经风雨，见世面吧！

离天愈近海愈远，更羡海天一飞鸥。

冰凌：数学的革命

       作者：冰凌

首先，祝贺敢峰先生，九三老叟，不废晨昏，数十年来，继2011年成功证明《哥德巴赫猜想》，又数证《四色定理》，终于在近日，毕其功于一役，最终成功登顶《四色定理》的最高峰！

敢峰先生是海内外著名的理论家、教育家、科学家、人才学家，又是极为出色的诗人、书法家、收藏家，发表过大量的理论文章和教育专著，出版过诗集、书法集，办过收藏展、书法展，人生极为丰富。

然而，他又是当代一个杰出的数学家，出版过一系列数学专著。敢峰先生的最新专著《四色定理登顶证明》也是对他自身的最好证明。敢峰先生不仅是一个数学家，他更是一个数学的革命家！为什么？因为在数学的金字塔上，敢峰先生实现了一场数学的革命！在数学发展史上，为什么数学家们至今也没有能最终攻克两大数学难题？最根本的原因，就在于其思维模式的固化和局限，在于哲学方法论的先天的欠缺，在于没有理论思维的高度和深度，在于传统的数学家天生所不具备的哲学的襟怀。

敢峰先生早在八九十年代即提出教育力学，他沿着认识逻辑的思维轨道，逐渐进入到数学王国。他不仅仅是对两大数学难题进行数学分析、逻辑推演等专业性证明，而且是在宏观的哲学层面上，进入到数理逻辑、数学哲学、数学方法论、数学社会学等广泛领域，开创了一个独特的大数学和新数学的哲学空间。敢峰先生坦言，攻克两大数学难题，最终必须要进行一场数学的革命，这同时就是一场方法论的革命，一场哲学的革命，否则，对两个数学难题的求证，就只能钻进牛角尖，走进死胡同，百余年的求证史已经证明了这一点。因而，敢峰先生的数学证明，既入乎其内，又出乎其外，不仅既具有严谨深入的专业性和完整系统的数学证明过程，又具有高度的哲学性、思想性、前瞻性和应用性。特别是他的这一本最新出版的《四色定理登顶证明》，有其内在而完整的哲学基础、哲学范畴、哲学内涵、哲学方法论，是人类数学史、认识史、思想史、哲学史上的又一座高峰。数学的革命势必带来人类思维方式的革命，而人类思维的革命也势必带来数学的革命。敢峰先生证明《四色定理》就是一场数学的革命，从而最终带来人类思维方式的革命。这场革命影响深远——既在当代，更在未来。这场数学的革命，这场方法论和哲学的革命，在社会学领域，也一定会给人类的社会思维带来一种跨界的开拓和全新的提升，这便是敢峰对两大数学难题的证明所带来的社会学意义和思维学价值，这种意义和价值，怎么评价也不为过，是我们这个时代又超越我们这个时代的人类思维的花朵和智慧的星辰。所以，我荣幸地出版此书，我郑重地推荐此书。敢峰先生证明了四色定理，而历史，将证明一切。

敢峰：四色定理终极证明

目录

置顶证语………………（    ）

纲要……………………（ ）

上编 ：大开篇（总论）

一、终极证明四色问题，路在何方？这是方法论提出的时代之问………………（39）

二、将无尽的外向证明，转换为大一统宏观调控下的可视证明………………(40）

三、确立“反求构图，正面证明”证略………………（47）

四、终极证明四色问题，其奧秘和关键在哪里？……（59）

五、终极证明四色问题的“双子塔”：转型演绎与终极构形图………………（61）

六、可控换色原理，是证明四色问题最基本的原理……（72)

七、结语

中编：登顶进行曲

一、概要………………（75）

二、登顶………………（78）

三、论证………………（91）

下编：辨异、四色可解（可染）定律及尾声

一、辨异…………………（97）

二、四色可解（可染）定律(101）

三、尾声………………（103）

附录：

一、《四色定理简证》（一证四色问题）…………（）

二、《“海岛理论”与四色问题》（二证四色问题）……（）

三、《五星图上“四色仙子”舞》（三证四色问题）……（）

（2021年7月17日）

敢峰四色问题，是1850年英国的一位绘图员弗朗塞斯·古斯里(Guthrie)提岀的。其猜想是：绘制任何一张地图，只需要四种颜色，就可以使彼此相邻的各个区域，互相区别开来。当时谁也没想到，这个问题的数学证明，竟然成为一个半世纪中，世界最著名的数学三大难题之一。19世纪后期，律师兼数学家肯泊（Kempe），据平面图的欧拉公式，从渺无际涯的茫茫图海中，找到了证明四色问题的战略突破口：五轮构形图。这是一个里程碑式重大贡献。接着，青年数学家赫五德(Heawood)提出了有一个双环交叉线路的、四色难解的五轮图，由此，拉开了数学四色问题终极证明的大幕。（此前的证明，数学界已有定论，本文不再重述。）“突破口”论和“拉开了终极证明的大幕”论，是我对近现代四色问题证明的历史定位和定调。我的证明就是基于此展开的。为了便于读者和四色问题研究者，对本文的论述和作出的证明，大致先有一个简明的整体了解，把握全局，尽收精华和险要于眼底，特意在文前先写一个“置顶”证语和一个纲要性的话语网络。论文为塔式楼层结构，首先有一个大开篇。登临过程中，同一“胜景”在不同视角屡现，交相辉映。重要处不避重复。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”（前贤诗句），同时也为了减少读者前后查找的麻烦，还是多几个“瞭望”台和“探幽”处吧！

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

“置顶”证语：喜迎“四色仙子”归

 01

 先高高悬挂起“终极证明构形图”和“得证图”两个大红“灯笼”。

（释图：上面敢峰的终极证明构形图，其实质为大一统终极证明四色问题的网络架构。它是在渺无际涯的“四色海洋”中，横空出世的真“龙”。不是模式，不是模型。它布下的是用转型演绎构成的捕获“四色妖魔“的“天罗地网”。“不可避免形成的”、普适性和“此外再也没有四色不可解的情况了”，是它独具的三大特质。四色定理是否成立，不可避免在图中“一槌定音”。得证图，是在终极构形图的A一B环中进行C与D两色互换，使A一C与A一D交叉环变为非交叉环，再在两个非交叉环内进行可控换色，最后可将B填入待填色区V。）

“四色仙子”归，此天下之同庆也。

为了打破对四色问题证明“高不可攀”的神秘感，激发阅读与证明兴味，在此，我特意在“登顶”证明之前，先在原得证图基础上，共用三步，再分別作出一个极其简明的、直接将C、D、A三色换入原待填色区V的“亚登顶”证明。把它作为本文的“开场锣鼓”。即：在终极构形图的A一B环中，通过可控换色，用4步将B色填入待填色区V，作出了“一槌定音”的证明后，再继续每次一步，分別在新形成的A一D环外、A一C环外和C一D环内，进行可控换色，直接将C、D、A三色换入已填有B色的原待填色区V。整个证明过程总共只用了7步。形象地说，就是“三步发射，一弹四星”。（具体见终极图与得证图，请读者自己动手验证。）这正是：“谁道崤函千古险，回看只见一丸泥。”（林则徐诗句）但这是回头看。重要的是：不要忘了构建终极证明构形图时的“天崭难越”和“千山万水”。简单一复杂一简单，这是一个认知和证明的辩证过程。

对四色问题的某些不同程度的相对性证明，屡有，但终极证明，即对四色定理成立的证明，唯有终极证明构形图。

02

数学四色问题，最初是从地图染色提出来的。朴实无华，谁一听都明白，引人入胜，而且四色可染(可解）显然是一个大概率，但，在证明上却又难倒了无数人。数学界也不例外。它究竟是一个什么性质的问题？何路“神仙”？研究价值何在？终极证明四色问题究竟路在何方？事到如今，首先要弄清楚啊！

四色问题不只是有关点、线、面关系的纯数学问题。其终极证明，离不开认识论、方法论的领航和辨析，不能缺位，一定要实现两者的辩证统一。在区域数无穷尽且分布极其复杂的平面上，就图论图和研究填色，怎能臻于终极证明之域？同时，构图和证明本身，也一定要严格遵照数学规律行事。

站在认识论和方法论层面上，放眼看来：四色问题，就其实质和普遍意义而言，是一个全局结构性的、大一统宏观调控下的综合调节问题。即：在任何情况下，是否都能和怎样才能取得“四色之间”的协调平衡。关键词是协调平衡。前提条件是“在任何情况下”。其数学证明工程，现在看来，就是用、也只能用转型演绎（演绎筛法）构建大一统的、终极证明四色问题构形图。其证明的真谛，就是融汇贯通。即：将微观、宏观、中观联为一体。

鉴于此，当悟：数学四色问题的证明，从认识论、方法论层面上看，并不是局限于、止于区域图填色这样一个孤立的老大难＂冷＂问题，而是一个关联经济、社会、环境、生态、安全、国家治理以及国际风云等各个领域的，至关重要和极具价值的＂热＂问题。敢问：在任何一个领域，谁没有自己的类“四色问题”？对数学四色问题的研究，当知难而进，不能“噤若寒蝉”啊！不能认为与社会、与自己的所在领域无关啊！数学界更不宜高挂“免战牌”啊！现在，是到冲破“噤区”，知难而上，智跳“龙门”，再次奋证数学四色问题的时候了。

03

大一统的终极证明构形图，是终极证明数学四色问题之“王”。

终极证明构形图不是“空中楼阁”，必须是不可避免形成的，具有普适性，和能确认此外再也没有四色不可解的情况了。否则，就不具有终极证明的资质和功能，不是终极证明构形图。这是终极构形图的数学内涵和基石，也是辨別是否终极构形图的“第一试金石”。凡不是“不可避免构成的，不具有普适性，和能确认此外再也没有四色不可解情况了”的图，包括形同质异图在内，统统不是终极证明构形图。显然，这是辨明是否终极证明四色问题构形图的最高准则。

在此，要特别強调说明的是：由于四色问题证明，已进入五轮构形图的终极证明新阶段，不可避免出现了“四色妖魔”现象，即：在构图过程中，四色可解与四色不可解两种线路并存。只要有一步选择了四色可解线路，就必然跌入“四色陷阱”，构图失败。鉴于整个情势发生了根本性的变化，必须在认识论、方法论引领下，用全程转型演绎（演绎筛法）同“四色妖魔”博弈，一路筛除、扬弃全部四色可解线路，正确连接四色不可解线路(环五轮图的双环交叉线路），最终所重构的是全部四色不可解线路集合图。即：环五轮图的全部双环交叉线路集合图。

在此，还要強调的是：用构形图证明四色问题，是肯泊在四色问题证明历史上作出的具有里程碑意义的贡献。当知：任何具体区域图，统统都是个別图，其区域数是极为有限和固定的。因此，对任何具体区域图的染色，是不可能终极证明四色问题的。它同构建终极构形图证明四色问题，两者不在同一层级上，在性能上有天壤之别。身份不同(实际区域图不可能具备构形图身份，终极构形图则兼具构形图和个別图双重身份。犹如一国的总统，既是国家元首，又是国家的公民）。两者数学内涵不同，证明力不同，混同不得。即使形同,却存在巨大质异，不能唯形式论。把两者严格区別开来，是终极证明四色问题的前提和“护航保障”。

构建证明四色问题的终极构形图，要实现三个转变：（1）一定要将外向的无尽证明，转换为环五轮图的有限和可视证明。整个证明一盘棋。（2）一定要破解构图过程中诡异的“四色妖魔”现象，确保只有一个双环交叉线路的五轮构形图，转换为全程有序、可控和不可避免地构建成功终极证明构形图：环五轮图的全部双环交叉线路集合(即：四色不可解线路集合）。这是终极证明四色问题的核心工程。（3）在数学图论中，一定要从归纳图论跨入和转换为演绎-博弈图论。过去图论工具箱里没有，就要在实证中创建。这就是数学界期盼已久的、证明四色问题的“新数学”啊！

总之，要终极证明四色问题，顶层设计、核心工程和关键数学技术，一个不能少。

04

如果“开门见山”，问我：“对数学四色定理，你是怎样证明的？”最直接的简明回答是：“反求构图，正面证明。”目标：“直抵黄龙府”。这就是我终极证明四色问题之路。终极构形图不立，绝不言证。

在四色问题证明历史上，这是“一骑绝尘”啊！（同时要清醒意识到：这并非好现象。“一骑绝尘”，难免消失在“绝尘”中。…）

为什么一定要这样？因为：在构图证明途中，横隔着“四色妖魔”天堑。再大声说一遍：横隔着“四色妖魔”天崭”！

为什么“终极构形图不立，绝不言证”?因为：即使你作出了一千个、一万个证明，统统不是终极证明。

为了便于大家对我的证明，有一个初步和整体了解，话还是简要地从头说起吧！

首先，基于对大量静止的实际图形的分析和研究，我独立作出了四色定理是成立的判断，坚信四色定理是可以证明的。从微观上看，根本不可能有任何5个区域彼此间一一互相邻接。而且在四外扩展，发生“颜色冲突”和“回流现象”时，总是可以想办法通过调节得到解决。时至今日，谁也没有找到、也不可能找到任何一个四色不可解的图。否则，四色定理就可“一票否决”了。

第二，要终极证明四色问题，看似简单，但渺无际涯，不确定的因素和干扰太多、太复杂。不首先全面排除或掌控战略性的不确定因素和干扰，终极证明四色问题是“天堑难越”，可望而不可及啊！因此，在实证中，要“唯此为大”，奋力开拓出一条“不可避免”的构建大一统终极构形图的证明之路。舍此，企望直接通过“算法”、“链法”终极证明四色问题，只能望洋兴叹。

第三，路在何方？对实证具有决定性意义的是，我在构图证明的探索过程中，发现了诡异的“四色妖魔”现象。（这一点极为、极为重要。）即：当你破解环五轮图的双环交叉线路后，立马出现了：四色可解与四色不可解两种线路并存。不管你是否意识到，也不管你是否承认，只要有一步选择了四色可解线路，就必然跌入“四色陷阱”。构图和证明失败。听起来，这是一个悖论。实际上是发岀了“此路不通”的警示。

当知当悟：全部、彻底破解环五轮图的双环交叉线路，正是终极证明四色定理之奥秘和关键所在。具有一个双环交叉线路的五轮构形图，显露的只是“冰山一角”，其他还隐藏在云雾中。

因此，我终极证明四色问题的思路和构图过程是：从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程（舍弃了赫五德原图中的C一D环及多余线路），坚持“反求构图，正面证明”证略，按顺时针方向或者逆时针方向，用转型演绎布局列阵，开拓前进。特别前三步是“黄金三步”的“窗口期”，一定要确定外极点W和抢占全局性的战略“制高点”，形成对“四色妖魔”的大包围圈，基本确定终极构型图的疆域（大证明场）。进而一路坚定不移，用转型演绎（演绎筛法）环绕五轮图同“四色妖魔”博弈，廹使环五轮图的全部双环交叉线路在“四色海洋”中逐一显现：一开一合，吐故纳新，全部筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路。终于15步转型演绎全图“封网”，20步全图回归原方位，不可避免地构建成功大一统宏观调控下，全部双环交叉线路集合的、终极证明四色问题构形图（简称终极图）。

由于“冰山”尽显，天崭跨越，道路打通，构建环五轮图的全部双环交叉线路构形图的工程大功告成，此外再也没有、也不可能有四色不可解线路的情况了。显然，四色定理是否成立，不可避免在图中“一槌定音”。这是铁的逻辑。

从数学上说，这就是在归纳图论基础上，应运而生的新数学：演绎-博弈图论。我就是用转型演绎（演绎筛法）一路同“四色妖魔”博弈，飞渡“四色妖魔”天崭，开拓终极证明四色问题的“天路”，终于成功构建了大一统的证明四色问题的终极构形图。

令人兴奋和惊喜的是：在终极构形图中，终于不可避免统一生成了破解全部双环交叉线路的可解环(通称环形链）：A一B环，及其副环C一D环。真没有想到：踏破铁鞋，“伊人就在水中央”。（《诗经》）。这是不容置疑的必然性使然啊！显然，在A一B环内（或环外）进行C与D二色互換，环五轮图的全部双环交叉线路蓦然消失。四色定理不可避免终于得证。（见终极图和得证图）而且，请注意：每一步转型都可以作出一个证明。从任何一个顶点启证，都可以得到证明。特别是，还可以作出直接将A、B、C、D四色填入待填色区的“登顶”证明。四色问题的证明，从自在的必然王国，跨入了自为的自由王国。

形象地说，我终极证明四色问题，是对“四色妖魔”实施大包围战略，用转型演绎（演绎筛法），构建降服“四色妖魔”的天罗地网。

或质疑：“对没有环形链（四色可解环）的双环交叉线路五轮构形，你是怎样证明的？是否漏证了？”简答：这种构形是不能同有环形链构形共处的过渡性构形。在构图过程中，已先期证明过了。一路筛出和扬弃的，正是这类图，无一不是这类图。无环形链的图“尽”，有环形链的图“出”。“水落石出”，这正是我终极证明四色问题的大序和精髄所在。不是什么“漏证”，是“高招”啊！是证明逻辑使然。由此也可认为：我的证明是“水落石出”法。

对于分类证明来说，终极证明构形图就是其大一统的、动态的、亦可按系列进行证明的“天衣无缝”组合体。整个证明“一盘棋”。无视“四色妖魔”现象，无论怎样分类，所作出的证明无一不是“四色陷阱”中的证明。

对于传统的“走出困局”理论来说，构建终极证明构形图就是终极走出困局。试问：不一路用转型演绎同“四色妖魔”博弈，构建终极构形图，彻底战而胜之，而是绕着弯子同它“捉迷藏”，怎能成功？

05

再问：那么，你终极证明四色问题的理论究竟是什么？

简答：是大一统的宏观调控与综合调节理论。亦即：是在区域充分多、分布极其复杂的平面图中，直接构建终极证明构形图，证明四色问题的理论。形象的说，就是“海岛理论”：喻五轮图为海岛，其外是未知的、滿布着极为复杂的各种四色隐线的海洋，特别是在云雾中还隐藏着“四色妖魔”出没的冰山群。（即：环绕五轮图的各种双环交叉线路。)这就是当初直接面对的证境。我对四色问题的终极证明，就是由此启程的。构图的过程，就是用转型演绎廹使全部相关的双环交叉线路的隐线，逐一显现的过程。在图论上，它是在新的情势下，对肯泊构形理论的继承、丰富和发展。

当知当悟：要完成终极证明四色问题的使命，跨越“四色妖魔”天堑是必经之路。不可能“直挂云帆济沧海”啊！即：必须要用全程转型演绎跨越“四色妖魔”天堑，使整个证明具备统一性、全面性、系统性、普适性和不可避免性。这五条，我统称其为翻越冰山，横渡大海，终极证明四色问题的“冰山法则”。同时也是敢峰终极构形图独具的五大特质。这五大特质，不是先验的，是构图过程中“冰山法则”的内化所铸成的。其中，统一性、普适性和不可避免性，是构图过程的命脈。同理，即使某些证明图同敢峰图在形式上一模一样，但形同质异，不具有以上数学内涵，决不能把两者混为一谈。要走出在认识和证明上的“误区”啊！同时，据“海岛理论”和“冰山法则”，也可以从根本上辨识：凡是实际区域图，或主观与随意画出的图，均不具有普适性，统统不是终极构形图。

06

在此，我还要说明的是：

1992年的《一证》中（后来我删改、压缩为《四色定理简证》），我构图用的是四环演绎（对角转型演绎）。在本文中，我作出的第四个证明，是改用在《一证》中已创建的三环演绎(邻角转型演绎）重构终极证明构形图，直接将A、B、C、D四色，分別填入终极图待填色区V的“登顶”证明。还有“亚登顶”证明。

四色定理与四色可解(可染）定律是“双胞胎”。在证明四色定理成立同时，直接得到四色可解（可染）定律：对任何五轮构形图（包括终极图自身），在16步转型演绎的极限内，如“庖丁解牛”，一定四色可解（可染）。当悟： “解铃还需系铃人。”这就是证明的实践，对四色定理证明最严格的检验。如果还不信，或者对手工验证不放心，可按照本证明正确编出程序，启用电子计算机验证。

为什么能够这样？形象地说，具有决定意义的是：“四色妖魔”被关进“天网”了，转变为“四色仙子”。数学四色问题的证明，终于从自在的必然王囯，跨入了自为的自由王国。在终极图中，从任何一个顶点启证，都可以使四色问题得到证明。在本文中未一一列出，欢迎大家来“划船”啊！

世间万象，大抵都是这样：当你未认识和掌控它时，它可能就是“妖魔”。你认识和掌控了它，就可转化为“仙子”。

证明四色问题还有別的途径吗？当然可以探索，而且还会有新的发现，新的贡献。但“冰山法则”不能缺，不能违。特别是，终极证明构形图是“不可避免形成的”、普适性和“此外再也没有四色不可解线路的情况了”这三条。这是“命门”。也不能简单地把四色问题的终极证明，同实际地图的具体染色方法混为一谈。

07

证明是具有完整的逻辑体系的，不能岀于随意性。首先，肯泊提出的“构形证明”方式，是依据平面图的欧拉公式确立的，并从中找到了终极证明的战略突破口：五轮构形图。这是四色问题的可证逻辑。第二， 从赫五德原图中只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程，由于发现了“四色妖魔”现象，确立了“反求构图，正面证明”证略，一路实地同“四色妖魔”博弈，不可避免构建成功环五轮图的全部双环交叉线路集合的终极证明构形图。这是构图逻辑。第三，在终极证明构形图中，不可避免地证明了四色定理成立，而且无不可证。这是证明逻辑。第四，四色定理同四色可解（可染）定律是同生共证的“双胞胎”，用转型演绎对任何具有待填色区V的五轮图（包括终极构形图自身），无不可解。这是四色定理最终成立的普适逻辑。

我终极证明四色问题有“三宝”：可控换色原理、转型演绎和终极构形图。如果要用一个公式来表述，即：

四色问题证明＝可控换色原理+转型演绎+终极构形图

改用汉语拚音的首个字母，则为：     S=K+2Z

最后问：以上这些认识，你在证明伊始就有吗？笑答：那我就成神仙了。神仙也做不到啊！我是“林冲误入白虎堂”，穿“开裆裤”上路的啊！当我攀爬上山顶，回头看1992年的第一个证明时，自己都连连感到吃惊。认识是在探索、证明和再思考过程中，逐步提高和完善的。

简答可以结束了。但是，作为同认识论、方法论和实践论融为一体的极其严格的数学图论证明，其立论、立证、实际证明过程和论证话语，下面，还得在根本上一一从头说起。

08

终极证明四色问题，首先要弄清楚：四色问题究竟是什么性质和什么样的问题，进而探索和研究怎样才能使它在证明实践上，得到数学图论上的终极证明。我的这个证明与论证，就是基于此展开的。在构图证明上，大一统，“一盘棋”。在论证时，除了统一的论证外，还“分进合击”，纵横驰骋，互为呼应，连为一体。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”（先贤诗句）为识庐山真面目，不辞东西南北中。现分别论述于下：

(一）四色问题的终极证明，究竟是一个什么性质和什么样的问题？

在数学图论中，四色问题的终极证明，从本体论而言，是(shì)平面(píngmiàn)上(shang)无穷(wúqióng)尽(jìn)区域图(qūyùtú)染色(rǎnsè)的(de)四(sì)色(sè)再(zài)平衡(pínghéng)问题(wèntí)。即(jí)：在(zài)区域(qūyù)数(shù)（F(F) ）无穷尽且极其复杂的图形中，设F=n一1时为四色，倘能证明F=n时四色定理成立（不只是某些具体图的四色可解、可染），则可确认F=n+1时四色定理亦成立。即：恒成立。（在这个过程中，初始的“设F=n一1时为四色”，也同时得到证实为真。）为什么证明数学四色问题，自肯泊以来，数学界较普遍地採用含有一个待填色区V的构形图？当弄明白：其根本原因就在于此。或者说，其真谛就在于此。这是终极证明四色问题的整个大战略“突破口”，并最后实际确定为五轮构形图。（注意：五轮构形图，除了待填色区V的邻区是5个区以外，所有其他顶点的相邻顶点，也都必须等于和大于5。）其外为未知的、无尽的、充滿各种二色隐线的“四色海洋”。“构形证明”这个证明的基本架构，是肯泊的最大贡献和成功。当悟：再平衡问题，是一个牵涉全局的问题。四色问题证明看似简单，而且引人入胜，却是一门“牵一发而动全身”的大难题、大学问啊！

当知：构形图除待填色区V及其围沿（也称围拦）外，并不是直接由实际区域图构成的。组成它的点、线、面各有其特定的数学内涵。（已成共识和惯例，在此不再作解释。）凡直接由实际区域构成的图，统统不是真正意义上的构形图。

在此，要澄清的是：构形图与区域地图不是同一个概念。构形图不等同于实际地图，而是至今尚无法替代的证明专用图。它特定和固有的数学内涵是：除了已知的显形线路外，还満布着各种潛在的四色隐点和隐线，作为对其提供发展和形成制约的“背景图”。即：实际的区域图统统不是构形图。在同一构形图中，也只有其最小图是定型的实际区域地图。构建终极构形图证明四色问题，具有大一统、普适性和不可避免性。不宜将构形的概念僵化或者泛化，甚至一图一构形。（附带说明：对区域数极为有限的具体地图染色，并不一定需要构形图，在宏观控制下，可以相机而行，“逢山开路，遇水架桥”。遇出现“回路”式的颜色冲突，可以直接通 过可控换色解决。详见我1986年的证明。)

数学四色问题，提出巳经一百多年了。现在值得深思的是，为什么否定不了，也证明不了？特别是，谁也提不出任何一个四色确定不可解的图，否则四色定理就可以“一票否决”了。而此前所能作出的证明，都只是一些不同程度的相对性证明。究竟这是为什么？

终极证明数学四色问题，要有大智慧。即：一定要有大视野、大思路、大证明观，一定要有新的重大发现和相应的证略，一定要有新的数学工具，在茫茫“四色海洋”中，奋力开拓出一条终极证明之路，构建大一统终极证明四色问题的构形图（系统调控工程）。不宜拘于、止于、纠缠于具体地图的染色方法，以及在构形分类的研究和证明上争论不休。当知当悟：“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”（先贤诗句)深入其中，还一定要跳出来，总揽全局啊！

终极证明四色问题，关键在哪里？要解决的主要矛盾是什么？无疑是从根本上破解环五轮构形图的双环交叉线路。经过百年探索，现在看来，孤立破解双环交叉线路本身并不难，其至难是要全局性的破解、彻底破解。否则，“野火烧不尽”，作出的证明，只能是对某些具体图的破解，或者是各种不同程度的相对性证明，并不是终极证明。即：中途跌入“四色陷阱”了，未能臻于证明数学四色定理成立之域。

09

（二）我対数学四色问题终极证明的顶层构思，说到底，是大一统宏观调控下的综合调节证明。其证明的路线图是：从赫五德只有一个双环交叉线路(直立型）的五轮构形图启程，由于在探索过程中发现了“四色妖魔”现象，从而确立“反求构图，正面证明”证略，布局列阵，稳扎稳打，不受诱惑，不被欺骗，不惧“千山万水”，一路用转型演绎（演绎筛法）同“四色妖魔”博弈，筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，最终不可避免地构建成功环五轮图的、全部双环交叉线路集合的终极证明构形图（即全部四色不可解线路集合图）：敢峰图。至此，此外再也没有、也不可能有四色不可解线路的情况了。显然，四色定理是否成立，不可避免在这个大一统的构形图中，“一槌定音”。由于在构图过程中，最终不可避免地生成了全部双环交叉线路的四色可解环（请注意：绝不是主观画出来或碰巧形成的），显然，经过可控换色，一定可使全部四色不可解双环交叉线路破解、消失。终极结论是：数学四色定理成立。敢峰图的证明原理，就是大一统“互联网”式的可控换色原理。

应当着重指出：终极证明构形图的构建和证明，在数学上，是一个突破归纳图论局限，大举开拓和进入演绎-博弈图论领域，首重新的发现，广视野、多视角、深探究，将证明理论与探索、实践“融为一炉”的、融汇贯通的大一统终极证明。不但要研究算法，链法，更重要的是：还必须研究阵法。整个证明“一盘大棋”。在四色问题证明历史上，这是高瞻远瞩，独辟新路，別开生面，于迷雾中高树一帜的首创性壮举。

010

（三）要终极证明四色问题，路在何方？这是认识论、方法论提出的时代之问。

路，在无路处。

要在证明的新阶段和新的证境下，上下求索，按照新的顶层构思和证略，脚踏实地，用转型演绎（演绎筛法）全程开拓出一条新的证明之路。路，不能实地开辟出来，何终极证明之有？与此相对应，从数学图论自身来说，要终极证明四色问题，仅靠静止型的归纳图论已经无以为继、为力、为证了。一定要与时俱进，审时度势，以变应变，打破归纳图论的局限，奋力开拓和创建新的转型-博弈图论。要有学朮上的胆识和智慧啊！

首先，要清醒认识到：数学四色问题，是图论中的一个无限问题。博大深邃，诡异多变。博大深邃，就是渺无际涯，难以预测。诡异何在？就是“四色妖魔”现象。即：在构图过程中，出现了四色可解与四色不可解两种线路选择并存，只要有一步选择了四色可解线路，就必然跌入“四色陷阱”。整个构图和证明失败。这就是最大的奥秘。其实，在五轮构形图伊始，“四色妖魔”现象就不可避免地出现了。肯泊没有发现，选择了无双环交叉的四色可解线路，竟然成为对四色问题研究有重大贡献，同时又是跌入“四色陷阱”的第一位数学家。在四色问题证明史上，这是一个需要深刻认识和记取的历史性教训。

当知当悟：四色问题终极证明之路，是建立在同“四色妖魔”博弈的基础之上的。成败系之。也就是说，证明四色问题面临着两条路：一条路是同“四色妖魔”博弈，战而胜之。一条路是无视“四色妖魔”现象，跌入“四色陷阱”。“反求构图，正面证明”证略，说穿了，就是旨在整个打破“四色妖魔”的一统天下，走大一统终极证明四色问题之路。

我证四色，底气何来？最大的底气是：因为我发现了＂四色妖魔＂现象，浴火重生，找到了和开拓出终极证明四色问题之路。否则，即使是数学天才、四色问题权威，大概也只能望洋兴叹。或者自我陶醉于＂四色陷阱＂中的有限证明。

011

因此，要终极证明四色问题，必须 立大证明观，把无限的外向扩展式证明，实际转换为有限的、环绕五轮构形图运转的可视证明，首重探索和新的发现。这是终极证明四色问题的第一要义。立思路、立证略、立阵法与立图、立证明并举，确立“反求构图，正面证明”证略，从赫五德揭示的，只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程，具有强烈的开路意识和使命感，志存高远，“心无旁鹜”，不畏困难，不受诱惑，不图侥倖，一路坚定不移用转型演绎（演绎筛法）同“四色妖魔”博弈，跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫，始终专心致力于变外向扩展型的无限证明，为环五轮图的“环型”和有限的可视证明，构建大一统宏观调控体制下，举图一致，具有系统调控机制和功能的终极证明构形图。（简称终极图。）亦即：扩容、重构和升级了的赫五德H一构形图。

我证明四色问题的终极构形图，就是具有上述证明思路、证略和数学内涵的、跨越千山万水“横空出世”的、环赫五德H一构型（直立型）的全部双环交叉线路集合图。（见图1。整个构图的具体过程，详见《四证》全文中的《登顶》部分。）

从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图（H一构形图）启程，布局列阵，聚精会神，一路同“四色妖魔”博弈，坚持用转型演绎(演绎筛法），一开一合，吐故纳新，筛除、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，不可避免地将只有一个双环交叉线路的H一构形图，最终演变为环五轮图的全部双环交叉线路集合的终极构形图，并形成了全方位的无尽大循环，确认此外再也沒有四色不可解线路的情况了。这说明了什么？终极证明构形图构建成功了。然后在终极证明构形图中，正面开启证明。四色定理是否成立，不可避免在图中“一槌定音”。

这就是“反求构图，正面证明”证略的真髄。

从图论的实证来说，就是“敢峰阵法”。

从证理上说，是一个什么概念？全部四色不可证的双环交叉线路统一联网了。不可避免地联网了。这就是全息联网、全息证明的互联网原理。

在四色问题证明历史上，这是一个具有里程碑意义的巨变啊！从而在大一统宏观调控下，通过可控换色，使四色问题从不可证的自在的必然王国，进入了无不可证的自为的自由王国。其巨大变化是：

（1）将无尽地外向证明，转换为大一统的、有限与可视证明。并在这个过程中，全部筛除、扬弃了无环形链构形的图。(即：先期证明了这类构形图。）

（2）将原来无四色可解环（＂克星＂环）的双环交叉构形，全部变成了环五轮图的、大一统的、有四色可解环的构形。可以作出＂一槌定音＂的统一证明。

（3）原来的每一个不可证的双环交叉线路系列，统统变成了一个有＂克星＂环（四色可解环）的可证明系列。

（4）原来的四色不可解线路，通过可控换色统统变成了四色可解线路。

（5）从任何一个顶点启证，都可以得到四色可解、可证。

总之，原来的四色不可证，统统可以变成四色可证。

敢问数学女王和全球的数学家、四色问题研究者，是这样的吗？

再请观察：全图列阵，呈现三圈五星图形。待填色区V与外极点W为两极。除待填色区V之外的16个顶点，A、B、C、D四色各占其4。A一C与A一D交叉环链及其四色可解环A一B环构成了全图的主要部位。“铁打的营盘，流水的兵”。不管图在拓扑形式上怎样变化，构形的实质始终如一。显然就是全面摆开了四色定理是否成立的终极决战阵势。“四色妖魔”欲战不能，欲逃无路，落入网中，唯有归降。

012

令人注目、饶有兴味而又令人费解的是：在拓扑图形上，类似敢峰图这样的图，在四色问题波涛汹涌的证明史上，先后几次出现过。最早的是1921年的Errera图。随后的有：1935年的Kittell图。1992年同期出现了敢峰图与H-M图。之后，1997年出现了C-K图。1998年在H-W的《肯泊再研究》中又最后出现了Errera图的原图。这是四色问题证明历史上罕见的“风云际会”啊！月涌大江，浮光跃金，其形屡现，露而复沉。在近百年中，它同以美国两位数学家Appel和Haken，于1976年借助电子计祘机的证明为代表的构形分类证明，分別形成了四色问题证明的两大流派。（借助电子计算机的证明，找到了1200多个可约构形，也难言终极。）举目四望，视之所及，至今能成为证明四色问题的终极构形图者，请恕我不谦让：唯有敢峰终极构形图。何也？

世上形同质异、形似质异的情况屡有，不足为奇。用作四色问题证明的图也不例外。当审视之，明辨之，不能混为一谈。立证，必须论与图并举。立图，一定要辨图。终极证明构形图不能立，何以为证？当辨：终极证明构形图，不是“闭门造车”或者“碰巧”画出来的，一定要是不可避免形成的。一定要具有能终极证明四色问题的数学内涵。一定要能确认此外再也没有四色不可解的情况了。还一定要具有普适性。一句话：一定要具备终极证明四色问题的资质，符合“冰山法则”。当知：Errera图是由17个实际区域构成的肯泊构形反例图，并非终极构形图。1935年被Kittell破解了。Kittell图是以Errera图为主体的一组研究困局转移的图。“链换色”操作法工具箱，从当时简单的手工操作上看，亦比较完备。但由于：（1）图不是不可避免构成的，是沿用由17个实际区域直接构成的Errera图。当知：凡用实际区域构成的图，统统不是终极构形图。（2）未发现“四色妖魔”现象，转移困局、回避矛盾的证明思路有误。实际上是在同“四色妖魔”捉迷藏啊！（3）其转型法局限于对Errera区域图的转型换色阶段，即：还处于转型演绎的“胚胎”状态，不具有开疆辟土、同“四色妖魔”博弈，以构建终极构形图和证明四色定理的完整功能。等等。因而实际上终未走出、也不可能终极走出困局，对四色问题的终极证明只能无果而终。其自称的20步形成循环，在数学内涵上，也只能是一个17个特定区域在运行上的自洽图。最后，还必须明确指出：任何链法（或操作法），都必须严格遵守可控换色原理，在可控范围中进行。这是铁规。尽管Kittell用他的“密切链”操作法，破解了Errera图，但並未深明其理。因而在Kittell《对一部分染色地图的一组操作》中，其12图是证者精心构建，并被证者确认是一个在操作上无法破解的图。其实，是一个易解图。只要先在图中任何一个可控换色环中换色，都可得到四色可解。Kittell是一位图论大家，思路开阔，治学严谨，并未轻言证明了四色定理。H-M图，是从含有C一D环的“赫五德反例”原图启证的，同敢峰图并非同一个图，仅3步“赫五德颠倒”，就成为一个四色可解图。随即转而研究Errera图。由于看到出现了4步转型的小循环，认为不可证，放弃了。C-K图，证者自认为是“试探式证明”。面世最早的Errera图，1935年虽已被Kittell破解，但请注意：它只是一个由17个实际区域构成的，按肯泊“算法”染色、又无法用肯泊“链法”破解的个别图。近年来，不明出于什么考虑，有证者将敢峰图与Errera图强行拉在一起，混为一谈，照搬Kittell的“E一图族”概念（由E一图“生成器”产生的一组图。即：在其转型中出现的图），搞图“图腾”，把敢峰图视为Errera图，借此、由此“张冠李戴”，移花接木。⋯把证明的一江清水搅混。此何象耶？在此，我郑重说明：敢峰图与Errera图， 形同质异（严格地说，形也不同），两者无关联性。更非来自Errera图，也不是在Kittell所说的“生成器”中生成，何“E一图族”之有？在治学上，这是唯图形论，不是实事求是啊！在此，我不厌重复，再次辨明：敢峰的终极证明构形图，是按照大一统宏观调控下的综合调节理论，从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮图启程，在构图过程中，发现了“四色妖魔”现象，从而确立“反求构图，正面证明”证略，在环五轮图的全程转型演绎过程中，跨越“四色陷阱”，走出构图迷宮，用全部双环交叉线路(四色不可解线路）不可避免形成的。我构建的是大一统的终极证明构形图。Errera图，明明白白是直接由17个实际区域构成的裸图，按肯泊“算法”染色形成的个别图。当时认为四色不可解，被作为肯泊“链法”的反例图之一，流传下来。显然，两者在数学内涵、普适性和成图的不可避免性上，有天壤之别。为正本清源，必须审思之，明辨之，对此多说了几句。其实，一句就够了：凡是实际区域图，统统不是证明四色问题的构形图。

有证者提出：“不管图是怎样构成的，只要能证明就行。”对终极证明四色问题来说，这是一个无视证明前提条件和数学内涵的伪命题。要辨明：之所以要问“图是怎样构成的？”其真谛，是要考问：图是否具有终极证明四色问题的资质，和最终“一槌定音”的权威。所指的不是一般的构图和解图方法问题。在这个问题上，不辨明，何谈终极证明？当知：敢峰图是兼具个别图与终极证明构形图双重身份的。（犹如一囯的总统兼具公民和总统双重身份。)说到底，即使这些图同敢峰图完全一模一样，但不是“不可避免构成的”，和未能证明“此外再也没有四色不可解的情况了”，只能是不具有“终极证明构形图身份”和资质的个別图。

013

将无尽的外向证明转換为有限的可视证明，坚持“反求构图，正面证明”证略，用转型演绎（演绎筛法）全程构建四色问题终极证明构形图，是终极证明四色问题的宏伟核心工程。在四色问题证明史上，这是我同全球其他所有四色问题证明，相区别的最显著、最重要特征。即：是举世独一无二的。

敢问：除了敢峰终极构形图，有哪一个用来证明四色定理的图是不可避免构成的，和能够证明（或证明过）此外再也没有四色不可解的情况，而且还同时具有普适性？没有！没有啊！这是所有这些图未能终极证明四色问题的“死穴”。当然，还应当说，这些图及其论证，在四色问题证明史上，各有其贡献和地位，各具其研究和參考价值。

014

(四）终极证明数学四色问题，在实践论和具体证明实践上说，要过四大关：

第一关，转换关。將平面上“直线型”的无尽外向扩展证明，转换 为环绕双环交叉线路五轮构形图运行的、“环型”的、有限和可视证明。

第二关，陷阱关。在构图过程中，首重探索。要发现和全程破解“四色妖魔”现象，一路跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫。始终牢记：对证明四色定理，“四色妖魔”握有“一票否决”权。这一关，真是关山难越，沿途充满诱惑和风险。形象地说：“四色妖魔”狡诈啊！一计不成，再生一计：引诱你走上歧路，或者“装死”。

第三关，证明关。确立“反求构图，正面证明”证略，实地布局列阵，坚持用转型演绎（演绎筛法）不可避免地构建成功大一统的四色问题终极证明构形图。即：由赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程，环五轮图一路同“四色妖魔”博弈，一开一合，吐故纳新，筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路。特别是前三步，一定要先立其大，确立“足够大”的大证明场。（“足够大”是一个极为重要的普适性相对概念。）其标志是：终极证明构形图的17个顶点全部到位，除待填色顶点V外，16个顶点的染色A、B、C、D各占其4，在战略和整体阵势上，构成了对“四色妖魔”的大包围圏，直至终极图全部构成。这就是我战胜“四色妖魔”的布局立阵图。当知，必须抢先做到这样，首先控制了大局，才能在同“四色妖魔”的全程博弈中，最后形成大一统的、环赫五德只有一个双环交叉线路构形图的、全部双环交叉线路集合的互联网络：终极证明构形图。正是由于”四色定理是客观存在的，与此同时，终于喜从天降：“水到渠成”，云散天开，不可避免在图中统一形成了全部双环交叉线路的四色可解环（“克星”环）：A一B环，及其副环C一D环。再继续进行转型演绎，就出现了全图双环交叉线路及其可解环的无尽大循环，确认此外再也没有、也不可能有四色不可解线路的情况了。显然，四色定理是否成立，不可避免在终极证明构形图中“一槌定音”。即：在A一B四色可解环內（或外）进行C与D二色互换，形成A一C与A一D两个非交叉环。然后，分別在两个环内再进行二色互换，使待填色区的围栏由四色变为A、C、D三色，将B色填入待填色区V。四色问题终于得证。结论是：四色定理成立。并进而在图中可以进行各种各样的证明，使四色定理的证明，从自在的必然王国，跨入了自为的自由王国。

当知当悟：止于研究“算法”和“链法”，不研究证略和布局立阵（称为“阵法”），是敲不开、推不动终极证明四色问题的大门的。

第四关，验证关。直接將四色定理转换为四色可解(可染）定律。以构建终极图第15步“封网”为界，一定可使任何五轮构形图，在16步转型演绎的极限之内，无一例外，统统四色可解。这是铁律。四色定理同四色可解（可染）定律是同生共证的“双胞胎”。四色定理成立之日，就是四色可解（可染）定律确立之时。如果要问四色可染（可解）定律确立的理论，就是与四色定理同生共证的“双子”理论。转型演绎既然是敢峰终极证明构形图的总建筑师，不言而喻，当然也是破解任何五轮构形图（包括终极图自身）的总执行官。离开、避开敢峰图及其四色定理证明，四色可解（可染）定律“毛将焉附”？

四色可解（可染）定律，是数学的图论工具库中新增的高端数学工具。同时对四色问题的终极证明，也是最直接、最实用、最快和最好的验证。只要学会和掌握了转型演绎，谁都可以实际应用和验证。茫茫四色问题的证明，如明月出海，唯此为大。“四色足矣”，普世同证。

从图论自身而论，四环演绎（对角转型演绎）与三环演绎（邻角转型演绎），是互相印证而又可以互相转换的。在对接上，“天衣无缝”，浑然一体。在终极证明中，各展风流，互相呼应，殊途同归。“冰山法则”融为一炉。似日星河岳之岀也，乃“杂然赋流形”耳。（借用先贤句）整个证明无误可寻，无懈可击。喻为“天工”，有何不可？

再说一遍：倘有疑虑，可以以我的证略和路线图立思，按照其构图和证明过程编序，动用电子计算机验证，结果随出。

这“四大关”联为一体，所形成的“天路”，同时就是在四色问题终极证明新阶段，整个证明实践所展现的严格而完美的逻辑体系。“物有本末，事有始终。知所先后，则近道矣。”（《大学》）信哉此言。

015

（五）转型演绎(其“胚胎”为转型换色），是突破数学归纳图论的局限，在终极证明四色问题过程中“应运而生”的演绎-博弈图论。它一身五任：

（l）转型演绎，是将平面上”直线型”外扩的、不可证的无穷无尽的证明，转换为“环型”的、有限和可视证明的“数学王子”。

（2）转型演绎是同“四色妖魔”博弈，降服“四色妖魔”的大将军。

（3）转型演绎，是构建四色问题终极证明图的天才建筑师。(4）转型演绎是终极证明构形图运转的总调度员，使五轮围栏的小循环，带动终极图运转的大循环。

（5）转型演绎，是代表四色定理，普遍破解任何五轮构形图的总执行官。

不能把转型演绎同转型换色混为一谈。如上所述，转型演绎的真谛，是开疆辟路，同“四色妖魔”博弈，构建终极证明四色问题构形图的使者。转型换色，是一种先进的系统换色和证明方法，不具有开疆辟路和构建终极构形图的功能。可视为转型演绎在归纳图论中的“胚胎”。

转型演绎的使命，首要的、最根本的是构建终极证明构形图和终极证明四色问题。（特别是构图，责无旁贷。）舍此而求它，大才小用，不能展其才，构图和证明终难成。这就是近些年有证者也曾沿用转型演绎法，但终因证略有误，坚执己见，不能得到终极证明。

对于终极证明四色问题来说，没有大证明观，没有“四色妖魔”现象的发现和“反求构图，正面证明”证略的确立，没有转型演绎新数学的“横空出世”，用尽其才，虽群星闪烁，然茫茫如长夜，不知何时是天明。

（顺帶提及：企望用转移困局的方法破解四色问题，似与用转型演绎构建终极图有某些类似。可惜，这是一个不明或无视“四色妖魔”现象，缺乏积极应对证略的证明方法，具有回避性、糢糊性和证明的不确定性。按构形分类证明，在国内已发展到在H一构形中统一分类，也引入了转型演绎方法，但无视“四色妖魔”现象，没有博弈意识，按主观意愿构图。只要“四色妖魔”出来搅局，连一个稳定的构形图都构建不成功。二者何不“易帜”、“改辙”，转移到终极证明的理论和道路上来，共谋大局？变“一骑绝尘”为“雁阵同行”。倘能建立起这样一个研究图队，多么好啊！）

016

（六）四色问题终极证明的基本原理，是可控换色原理。无论是用转型演绎构建终极图，还是在终极图中证明四色定理，无一不是基于可控换色原理。肯泊链法基于、出于可控换色原理。拘于肯泊链法，不明可控换色原理，率由旧章，难免痛失机遇和出错，曾长期延误四色问题证明史上对环形链的破解。至今，如果仍狭隘认为：换色只是在有关色链上换色，不明可控换色原理，难免在构图和证明过程中出现差错。例如：对在终极图中植入“挿件”，还误认为是改变了图的循环状态和影响证明。“一叶障目”啊！殊不知，在终极图中，这些“挿件”都是次1一n个层次的线路，可根本不予理睬，“我行我素”，按原来线路进行演绎和可控换色。倘內藏“木马”，予以取缔。

在终极构形图中证明四色定理，其证理是：从只有一个双环交叉线路的五轮构形图，演变为环五轮图的全部双环交叉线路集合的整个过程中，最终不可避免统一生成了终极构形图的四色可解环。它不但可以“开门见山”，在A一B环中（或环外）进行C与D二色互换，破解A一C与A一D交叉环，使终极图四色可解，还可以随终极图的变化而变化，如影随行。在全部三环演绎中：A一B环、C一D环、B一C环、B一D环、A一C环、A一D环全部6个四色可解环尽出，每一个双环交叉线路就是一个证明系列，总共可作出240个证明。从任何一个顶点启证，也都可以得到证明。我在本文中作岀的“登顶”证明，是直接将A、B、C、D四色填入待填色区V的证明。（具体详见本文中的《登顶》部分。）还有本文伊始，作出的极其简明的“亚登顶”证明。

至于从任何一个顶点启证，也都可以得到证明。这是因为：在终极图中，可控换色原理无处不在，是大一统宏观调控下，全覆盖、互联通的“互联网式”的可控换色原理。

一句话：证明透了。“反璞归真”了。“此曲只应天上有，人间能得几回闻？”的“神曲”，终于被打破，回归人间。

017

终极证明构形图，是对四色问题“一槌定音”的证明图，又是全可证明图。从《一证》至今，三十年间，我据“反求构图，正面证明”证略，从赫五德只有一个双环交叉线路五轮构形图出发，用转型演绎构建成功的大一统终极证明构形图，是证明四色定理成功的“天下第一图”。其证明思路和构图方法，是举世独一无二的。我是“证明先自推”论者。推倒了和推不倒，都是胜利。推倒了，吃崭长智再重来。推不倒了，再请別人推。经过反复检验和论证，我不但没有发现任何颠覆性错误和破绽，而且越证越进入佳境，愈辨愈明澈，有“更上层楼”之感。为什么能臻于此域，就因为它具有统一性、系统性、完备性、普适性、不可避免性，此外再也没有四色不可解的情况了。全图形成了无尽的大循环，就是鲜明标志。一定要始终保持清醒头脑。不忘“四色妖魔”握有一票否决权。是为至要。

世间万象，在未认知和掌控之前，可以成为“妖魔”，在认知和控制之后，也可以变为“仙子”。用转型演绎构建终极图，所编织的是一面捕捉“四色妖魔”的“天罗地网”。“四色妖魔”终于归降了，变成了“四色仙子”。请看2017年我写的三证四色定理《五星图上“四色仙子”舞》：载歌载舞，现身说法（歌的是四色证明进行曲，舞的是“探戈三步”)，一一破解环五轮图的全部双环交叉线路。那是多么令人心旷神怡的数学证明大剧啊！

018

混淆是证明的大忌。当悟：终极图有双重身份：个別图与终极证明图。犹如一囯的总统，兼具公民与总统双重身份。凡不是严格用全程转型演绎（演绎筛法）构建成功的图，即使与终极图看似一模一样，甚至也可以象我构建的终极图那样，最终出现了无尽的大循环，但由于既无证明理论，又无证略，更不是用全程转型演绎不可避免形成的，而是岀于偶然性，或者在形式上沿用前人的图，不具有终极证明图的资质和数学内涵，只能是个別图。1921年的Errera图，当用转型演绎对其检测时，也出现了大循环，但所传示的信息，只能是自身17个区域图的自洽图。再说一次，对两图进行比较研究，也是很有意义的。但如果明知两者的实质不一样，却继续坚持图“图腾”，将敢峰图“易帜”为E一图，“张冠李戴”，移花接木，按照敢峰终极图的“剧本”演戏，从而避开和取代敢峰的终极证明图及其证明（不管是否意识到），不但搅混了证明的一江清水，而且难免有悖学术伦理之嫌。尊重四色问题证明在历史过程中的史实，要注意实事求是的辨析啊！不能陷于形式主义和唯图形论的泥潭。敢峰图就是终极证明构形图，与E一图无关，且无任何渊源和參照关系 。特此声明，立此存照。

终极构形图与通称的“极大图”，也不是同一个概念。（1）终极构形图是由赫五德H一构形启程，不可避免形成的大一统终极证明四色问题的定形网络图。极大图是非定形的、含有待染色顶点V的任意个別图。（2）在终极图中，“四色妖魔”已转变为“四色仙子”。在极大图中，则仍是“四色妖魔”出没的天下。（3）终极图中作出的证明，是终极证明。在极大图中作岀的任何证明，永远都只能是一些个別和相对性证明。但是，也要看到，它毕竟是在发现“四色妖魔”现象之前，极具价值的谋求大一统终极证明四色问题的试探性构形图。

没有辨析，混为一谈，在客观上说就是淹没真理。

019

（七）综合起来说：

（1）四色问题的终极证明，是继肯泊用“构形证明”架构，找到了证明四色问题战略突破口五轮构形图之后，要将平面上外向无尽的、错综复杂、诡异多变的区域图之四色问题证明，转换为在大一统宏观调控下，有限和可视的综合调节问题。这是我立思、立论、立证之本。

（2）＂四色妖魔＂现象的发现，是我立＂反求构图，正面证明＂证略之据。

（3）完整的转型演绎（演绎筛法）数学方法，是我在同＂四色妖魔＂博弈和构建终极证明构形图过程中，应运而生的＂新数学＂，是演绎-博弈图论。(在《一证》中，我称其为四环演绎、三环演绎和“锁阵运筹”。）

（4）敢峰的终极证明构形图及其证明体系，是在用转型演绎同＂四色妖魔＂博弈中，筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路后，不可避免形成的。此外，再也没有四色不可解的情况了。在终极构形图中证明了四色定理成立，当然就是终极证明了四色定理成立。

要特别指出：用转型演绎构建终极构形图，是终极证明四色问题的核心工程。这是我同其他所有证明相区别的最显著特征。也是至难所在和举世独一无二的。

它打破了归纳型图论的局限，把四色问题证明引入新的演绎-博弈图论领域。

它在构建终极图过程中，始终使图按照顺时针或逆时针方向，环绕五轮图的待填色区V运转，实现了使平面上＂直线型＂的无尽外向证明，转变为＂环型＂的、图内的有限和可视证明。

它是开疆辟路的先锋，降服＂四色妖魔＂的大将军，也是终极图的总建筑师。

它终于使赫五德无环形链的双环交叉线路五轮构形图，通过扩容、重构、升级，成为环五轮图的全部双环交叉线路集合(四色不可解线路集合），和有四色可解环的终极构形图。

要反复强调：凡不是用转型演绎同“四色妖魔”博弈，不可避免形成的图，包括终极图的形同质异图，由于不具有终极图的资质和数学内涵，统统不是证明四色问题的终极构形图。

要注意辨明：转型演绎（演绎筛法），同转型换色有关联，但在数学内涵上，两者并非一个全同的概念。转型演绎的功能，集构图、染色、证明、辨异于一身。转型换色显然不具有演绎筛法和构图功能。

最后还要意识到：四色定理与四色可解（可染）定律是同生共证的“双胞胎”。终极图既然是用转型演绎不可避免构成的，转型演绎当然可以代表四色定理，使任何五轮构形图四色可解（可染）。包括终极图自身，和在构图过程中所有筛除、扬弃了的全部构图，无一例外。其极限是16步转型演绎。一般情况四步转型演绎可解。当知：它是一柄全能的四色可解的“金钥匙＂啊！

用形象的文学语言说：转型演绎，是同“四色妖魔”博弈，终极证明四色问题的天使，是变＂天堑＂为通途的桥梁，是“九天揽月”的宇宙飞船。它拥有环五轮图全部双环交叉线路集合的终极图。它似被熊熊喷射的火箭送上了云天，进入了轨道，把探测器送抵月球，摘取了图论王冠上的明珠。

一言以蔽之：在大一统宏观调控理论引领下，从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程（此前的问题，前人已经解决了），用“反求构图，正面证明”证略和转型演绎（演绎筛法），跨越“四色妖魔”天崭，构建终极证明构形图，在终极证明构形图中证明四色定理。这就是我终极证明数学四色定理之路。

循着这条成功之路，我先后作了四个证明。一证是：“一槌定音”证明（1992年）。二证是：“无环形链”的统一证明（2017"年）。三证是“孔雀开屏”式的全景证明（2017年）。四证是本文的“登顶”证明。1986年还有一个在一大统宏观调控下，“逢山开路，遇水架桥”，对任意区域图直接染色的证明。

从哲学上说：“穷则变，变则通”，通则达。由“山重水复疑无路”，到用转型演绎构建终极图，到“一槌定音”，到＂孔雀开屏＂，到登峰造极，使四色定理的证明，从自在的必然王国，跨进了自为的自由王国。   

从数学图论上说：是与证共进，开拓了演绎-博弈图论，否则四色问题是不可能得到终极证明的。

020

我对数学四色定理的证明，从现代科学方法论的的视角考察，就是现代控制论、系统论、信息论三者的辩证统一，依据数学图论自身的运行変化规律和范畴进行的。从控制论而言，是大一统宏观调控下的综合调节。从系统论而言，是环五轮图全部双环交叉线路及其“克星环（四色可解环）形成的证明体系。从信息论而言，是全息建模，全息证明。即：全息建模，就是用转型演绎构建证明四色定理的终极构形图。全息证明，就是在终极构形图中，形成了全部双环交叉线路的互联网络之后，开启各种各样的证明。显然，平面上无尽的、极其复杂的四色问题证明，不可避免地纳入终极图之中矣。把所有这一切统一起来，形成证略，转化为实际证明，这就是运筹之功。古语曰：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。从学术上说，即现代运筹学。

（八）四色问题研究，并非与世无涉的“冷”问题。“我视四色问题研究为“四色”之学。举凡当今经济、社会、环境、生态、安全、国家治理以及国际风云等各个领域，就实质而言，各有其“四色问题”，即宏观调控与综合调节问题，都在大力投入研究。近几年悄然兴起的区块链研究热，从数学图论的视角看来，似乎也牵涉到终极图中，区块内与相关区块之间的隐性线路，各形成其运行体系的问题，相关性极大。这是一方大有希望和亟待开发的新领域。

至于证明四色问题有什么用？对任何数学证明都不能用狭隘与近视的眼光看待。就四色问题来说，很明显，其实质和普遍价值就是大一统的宏观调控和综合调节之学。如上所述，在经济、社会、环境、生态、安全、国家治理和国际风云等诸多领域中，无不存在。而且当前是一类热门问题，都在大力进行探讨和研究。关系大焉。期盼各界对数学四色问题的研究和证明，能予以关注。

021

（九）简答构形分类证者提岀的质疑。

按构形分类证明四色问题的归纳型图论理论，在肯泊证明阶段无疑是正确的。当时，二轮构形图、三轮构形图、四轮构形图、五轮构形图并立，不能统一证明，只能分別证明。并由此最后找到了四色问题终极证明的突破口：五轮构形图。功莫大焉。但在证明进入了终极证明的新阶段后，“四色妖魔”现象开始出现，整个证境发生了变化，再继续沿袭，就是一个过时的证明理论了。证明成功的希望渺茫。终极者，大一统之谓也。不统一，把分类构形图和证明建立在只有一个双环交叉线路基础上，又无视“四色妖魔”现象，何谈终极？所得到的显然只能是一些相对性证明。分类研究是一个好方法，在任何时候都是需要的，对四色问题也作出了不同程度的相对性证明。但怎么能用按构形分类证明的视角，孤立和静止地看待大一统的终极证明？其中最主要的是，反复质疑：“为什么敢峰终极图中没有无环形链（即无四色可解环）构形？”其实，道理很简单：无环形链构形是与有环形链构形不相容的过渡型构形。在用转型演绎“反求构图”的过程中，所筛出、扬弃的，都是无环形链构形。（可以查验。）我曾多次反复说明：敢峰终极构形图中的证明，包括在构图过程中筛除、扬弃了的无环形链的构形图在內。即：无环形链构形的图，在构建终极证明构形图的过程中，已经先期证明过了。构图过程同时就是证明和扬弃无环型链构型的过程。无环形链的构形图“尽”，有环形链的大一统终极证明构形图“出”，这就是大一统终极证明四色问题，“全图一盘棋”的先后大序，正是精华和证明智慧所在。奶酪已经先吃进肚子里了，怎么老质问奶酪在哪里？在此，倒是要认真反思：按照构形分类证明理论，能否终极证明四色问题。立证一定要立图。当知：按构形分类证明所立的图，无一不是“四色妖魔”岀没的天下。千万不可忘记：“四色妖魔”手中握有“一票否决”权。不危及它的统治时，它可以不理睬。只要它高兴，跑出来搅局，使证者顿失所措，顾头顾不了尾，出现“驼鸟效应”，连一个证明图都构建不成功。当知当悟：没有一个有双环交叉线路的分类证明构形图，是不可避免形成的。这是它终极证明四色问题的“死穴”。“四色妖魔”会搅局啊！

至于双环交叉线路九点构形图的分类证明，看起来简明清晰，乾净利落，但一开始就掉进“四色陷阱”了。“翻卷式”的九点构形图，在构图伊始，就为自己挖了一个舒展不开、又跳不出去的大“坑”。其证明怎能获成功？四色问题的终极证明，一定要是开放性的证明。再者，凡含有二轮、三轮或四轮的五轮构形图，其证明都不能认为是对五轮构形图的完备证明。图中每个顶点的连接线路，必须等于和大于5。（否则，对这类图豈不是漏证了吗？或者归于三轮或四轮构形图的证明。）

要跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫，我已呼唤过多次了。关于敢峰终极图中没有无环形链的问题，也已经解释了多遍。请看构图过程中的第十四步图，面临全图封网前夕的A一B与C一D线路，是多么典型的无环形链构形啊！何必“蛇”画成了，还硬要添“足”，在构图过程中连闯“红灯”，违规构建无环形链构形图？但我还是肯定，能将构形分为有环形链与无环形链两类（或者其他分类），并获知其基本解法，虽未能臻于终极证明四色问题之域，在四色问题证明史上，已经是难能可贵的了。但不能“闲庭信步”啊！何不“重整旗鼓”，转而开拓演绎-博弈图论这方新天地，丰富图论工具库，与敢峰的终极证明会师，相辅而行，相得益彰，联袂高飞？或者 干脆接过敢峰证明的火炬，前赴后继，取得更大成功？要有“凤凰涅槃，浴火重生”之悟和勇气啊！

在此，还要再啰嗦几句：用转型演绎构建终极图，终极证明四色问题，是高瞻远瞩，实证为＂王＂，融汇贯通，一统天下。远超和优于为归纳型图论所拘，继续按构形分类的模式证明。一个无情的铁的事实摆在面前：继续按构形分类证明，只能作出程度不同的各种相对性证明。对赫五德只有一个双环交线路九点图的分类型”证明，看来似乎很好，但那只是自我封锁在“冰山一角”中的证明。在转型演绎之初，四步之内，就不可避免全部跌入了预设的“四色陷阱”。在转型演绎中途，缺任何一步都不行。“冰山法则”不可忘，不可违。至于用拚凑的办法证明，更不行。一定要使全部“冰山”不可避免尽显，构建大一统的终极证明构形图。

022

（十）结束语

对数学四色问题的终极证明，离不开认识论和方法论。这是第一要义。

转型演绎和演绎-博弈图论，是在终极证明四色问题中，应运而生的新数学。

面对四色问题的证明，不要“噤若寒蝉”，要敢于“上下求索”。同时，还一定要有“凤凰涅槃，浴火重生”的精神。

“两岸青山相对出，孤帆一片日边来。”（李白诗句）四色问题的证明历程，是多么美的一道风景线啊！

“谁道崤函千古险，回看只见一丸泥。”（林则徐诗句）对四色问题的证明，回过头来看，也是这样。

最后，简要谈一点感悟。对数学四色问题的终极证明，是一个极其复杂和艰难的探索过程。没有正确的认识论、方法论的融入，沒有“四色妖魔”现象的发现和“反求构图，正面证明”证略的确立，没有转型演绎新数学的问世，没有一大统终极构形图的建成，看来四色定理是无法得到终极证明的。在探索中，首先要重在新的发现，这是开启成功的大门。走寃枉路并不寃枉，不走寃枉路，怎么具体知道什么路才是正确的路？问题在于：迷途知返，吃堑长智，重新岀发。当知：众志成城，壘土成山。不管最后证成于谁，每一个真正的探索者，都在不同方面和不同程度上做出了自己的贡献。

“不畏山高欺月小，横空出世傲汪洋。”这是真正的探索者，在征途中的可贵品格和气概。

四色问题的价值，主要不在地图染色问题。从认识论、方法论层面看，是一个普世性命题。再说一遍：从普遍意义上说，在各个领域，都存在着大一统的宏观调控与综合调节问题，各个领域都在研究。数学四色问题，并非一个与各领域无关的老大难“冷”问题，应把它从“冷宫”中解放出来。这是知“天命”啊！

“此曲何须天上有，但留创造在人间。”                             

纲   要

在肯泊于茫茫无际的平面上，找到了终极证明四色问题的战略突破口：五轮构形图之后，证明进了入了一个新的阶段。要终极证明四色问题，路在何方？这是认识论、方法论提出的时代之问。

（一)　数学四色问题的终极证明，首要和最根本的是：要将平面上无尽的，外向“直线”型的，错综复杂、诡异多变和不可视的区域图之四色问题证明，转换为环五轮图的，在大一统宏观调控下，全覆盖、互联网式的有限和可视的综合调节问题。整个证明＂一盘大棋＂。否则，证海无涯，诡异多变，无视无知，四色问题是不可能得到终极证明的。这是我立思、立论、立证之本。

(二）大一统宏观调控下的综合调节理论（或曰终极构形图理论，形象地说是“海岛理论”），是我终极证明四色问题的理论。

（三）赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图，所揭示的只是＂冰山一角＂。要终极证明四色问题，由此启程，必须不可避免地构建成功环五轮图的全部双环交叉线路集合（即四色不可解线路集合），使全部“冰山”显露。这是对赫五德H一构形图的基础再造工程。或曰：对赫五德H一构形图的扩容、重构和升级。

（四）我在探索构建终极证明构形图的过程中，最大的发现，就是暗藏陷阱的＂四色妖魔＂现象。即：往往每一步都岀现连接四色可解线路与连接四色不可解线路两种选择，只要有一步选择了四色可解线路，就必然跌入“四色陷阱”，使整个证明失败。从而，揭示了终极证明四色问题的最大诡秘和玄机所在。这是我确立＂反求构图，正面证明＂证略之据。

(五）我构建终极证明构形图的过程，就是从赫五德掲示的有一个双环交叉线路的五轮构形图启程，严格 按照“反求构图，正面证明”证略，持续用转型演绎同＂四色妖魔＂全程博弈的过程。

（六）转型演绎(演绎筛法)的数学方法，是我在同"四色妖魔"博弈和构建终极图过程中，应运而生的"新数学"。它是从归纳图论中，“破壳”而出，新创建的演绎-博弈图论。

(七）用转型演绎构建终极证明构形图，是终极证明四色回题的核心工程。

（八）可控换色原理，是我构建四色问题终极证明构形图，和证明四色定理的基本原理。

综上，我构建终极证明构形图，是从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程（此前的问题前人已经解决了），环五轮图一路用转型演绎同＂四色妖魔＂现象博弈，一开一合，吐故纳新，筛除、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路（即新的双环交叉线路），最终不可避免使四色问题的证明，从无尽的外向扩展性证明，转换为环五轮图的有限和可视证明，统一和无缝隙地形成了环五轮图的全部双环交叉线路集合的终极构形图。它是对赫五德双环交叉线路五轮图构形的全面扩容、重构和升级，使终极图成为全部双环交叉线路的互联网，具有大一统的宏观调控体制和综合调节功能。在终极图中，除了＂开门见山＂作出的＂一槌定音＂的证明外，每一个双环交叉线路及其四色可解环（“克星”环），就是一个证明系列。从任何一个顶点启证，都可以使四色问题得到证明。还可以作出直接将A、B、C、D四色填入待填色区的登顶证明。为什么能够这样？这就是终极图证明四色问题的互联网效应。由于终极图是不可避免形成的，此外，再也没有四色不可解的情况了。（请注意：无四色可解环的双环交叉线路，在构建终极图过程中，因其四色可解，已全部先期被筛除、扬弃了。）终极图中的证明+构建终极图过程中筛出、扬弃了的证明=全部证明。显然，在终极图中证明了四色定理，就是终极证明了四色定理成立。这样，就把无环形链与有环形链的两种相互对立的构形，在证明上按先后顺序，无缝地对接和统一在终极证明构形图之中了。“你先唱罢，我登台”。高招啊！“物有本末，事有始终。知所先后，则近道矣。”（《大学》）

在此，要特别指出：用转型演绎（演绎筛法）构建终极证明构形图，是终极证明四色问题的核心工程。这是我同世界上其他所有四色问题证明，相区别的最显著、最重要的特征。

转型演绎的横空出世，打破了归纳型图论的局限，把四色问题证明引入新的演绎-博弈图论领域。它从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮构形图（舍去了图中的C一D环和多余线路）启程，在构建终极构形图的全过程中，始终使图按照顺时针或逆时针方向环绕五轮图的待填色区V运转，实现了使无尽平面上"直线”型的外向证明，转变为"环型"的、图内有限和可视证明。它是开疆辟路的先锋，降服"四色妖魔"的大将军，也是终极构形图的总建筑师。它终于使赫五德无环形链的双环交叉线路五轮图，经过扩容、重构、升级，不可避免地成为环五轮图的全部双环交叉线路集合，和大一统的有四色可解环的四色可解图。

（九）那么，终极构形图的终极证明，其依据是什么呢？

（1）它集四色问题证明中的全部四色不可解线路（即环五轮图的全部双环交叉线路）于一图，此外再也没有四色不可解的情况了。终极构形图构成后出现的全图无尽大循环，无可辩驳地展现和证明了这一点。

（2）它形成了全图大一统的宏观调控体制和证明体系。其确定性的标志是：全图共17个顶点：A、B、C、D各4个顶点加待填色区V。图外圈为5点3色，与其外的极点W均有二色线路相连。

（3）图内，形成了全部双环交叉线路的＂克星＂环（四色可解环），具有通过可控换色使四色定理得到证明的功能。至于质疑为何终极图中没有所谓＂既无A一B环也无C一D环＂的双无构形？因为这类构形自身就是过渡性构形，与有环形链的＂克星环＂不相容，在构建终极图过程中，因其线路四色可解，不可避免已先期全部被筛出、扬弃了。即：在构建终极图过程中，已经证明过了。这是一个其理至明的逻辑问题。已经把奶酪吃进肚子里了，怎么还要在桌子上寻找奶酪？从只有一个双环交叉线路的五轮图，经过扩容、重构和升级，成为全部双环交叉线路的终极抅形图，怎能＂率由旧章＂，用多个构形分別证明时的眼光来看待终极构形图啊！

在用转型演绎构建终极构形图的整个过程中，是由无环形链（即：无四色可解环）的构形，逐步演变为有环形链构形的。，无环形链的图“尽”，终极构形图“出”。全部无环形链构形，因其四色可解被先期筛出、扬弃，是最终构建成功大一统的、有四色可解环的、证明四色问题终极构形图的前提。

（4）由于终极构形图的线路，全部都是由环五轮图的双环交叉线路，统一形成的互联互通网络，是一个证明四色定理全覆盖、大一统的宏观调控的网络系统，无不可证。

终极构形图不可避免构成之日，就是四色问题终极证明之时。

四十年来，我对四色问题先后作出了四个证明：（1）1992年＂一槌定音"的证明。（2）2017年无四色可解环的＂绝地证明＂。（3）2017年环五轮图的＂孔雀开屏＂证明。（4）本文作出的是直接将A、B、C、D四色填入待填色区V的证明。终于使四色问题的证明，从自在的必然王国进入了自为的自由王国。

（或问：你的第二个无四色可解环的“绝地证明”，为什么没有用转型演绎构建终极图呢？这不是自相矛盾吗？

传来一个稚嫩的声音：“那是因为“四色妖魔”平时就住在五轮构形图的交叉环里，叔叔没有惊动它，就悄悄把它死死围困起来了。逃不出来，只好举手归降。当时还演了一幕《擒妖三部曲》呢！”数学小公主的记性，真是好啊！不过，这是一个特殊情况下的特殊证明。）

要强调辨明的是：凡不是全程用转型演绎（演绎筛法）同“四色妖魔”博弈，不可避免形成的图，包括终极构形图的形同质异图，由于图不是不可避免形成的和不具有终极图的数学内涵，犹如无根之木，无魂之偶，统统不是、也绝不可能是证明四色问题的终极构形图。

（十）与四色定理“同生共证”的是四色可解（可染）定律。转形演绎可以代表四色定理，使五轮图构形的任何图(包括终极图自身和在构图过程中所有筛除、扬弃了的全部四色可解线路图)的一柄四色可解的“金钥匙"。在16步转型演绎的极限内（构建终极图是第十五步封网，开始出现了双环交叉线路的四色可解环），使任何五轮构形的平面图，统统四色可解（可染）。

集中到一点，形象地说：转型演绎，是终极证明四色问题的天使，是变"天堑"为通途的桥梁，是“九天揽月”的宇宙飞船。它构造和拥有环五轮图全部双环交叉线路集合的终极构形图。它似熊熊喷岀火焰的火箭，直上云天，进入了轨道，把探测器送抵月球，摘取了图论王冠上的这颗明珠!

一言以蔽之：在大一统宏观调控与综合调节理论引领下，首重新的发现，确立＂反求构图，正面证明＂证略，从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮图启程(此前的问题，前人已经解决了)，用转型演绎（演绎筛法）构建终极证明四色问题的终极图，在终极图中证明四色定理。这就是我实地终极证明数学四色定理之路。

在终极图中，从任何一个顶点启证，都可以使四色问题得到证明。四色定理已从自在的必然王国，转变为自为的自由王国。

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一                                   

上编

大开篇（总论）

四色问题，是从地图染色提出的。它究竟是一个什么样的问题？其研究的价值何在?是单纯为了解决地图染色问题，求助数学界的吗?我看，非也。古斯里本人就是学数学的，正由于他在绘制地图的过程中，发现四色似乎就够用了，那么在充分多的区域中呢？于是提出了这个猜想，希望能得到数学证明。从而，推开了一扇数学图论上的＂天窗＂。何况绘制地图用四色或五色都可以，并非一定要解决的实际难题。

站在认识论和方法论层面上，放眼看来：四色问题，就其实质和普遍意义而言（从地图染色问题发端，遍及其他领域），是一个大一统宏观调控下的综合调节问题。即：在任何情况下，是否都能和怎样才能取得“四色之间”的协调平衡。关键词是协调平衡。不言而喻，其数学证明，在哲理和方法论层面上，并不是一个孤立的、无关重要的老大难＂冷＂问题，而是一个关联经济、社会、环境、生态、安全国家治理和国际风云等各个领域的至关重要和极具价值的＂热＂问题。其数学证明的最高境界，是融汇贯通，整个证明＂一盘棋＂。使四色问题的证明，从自在的必然王国，进入自为的自由王国。其终极证明的数学工程，说到底，就是要构建大一统宏观调控下，具有综合协调平衡功能的互联网：终极构形图。并由此联想到：它甚至有很大可能，还涉及到当代人工智能生成的数学基础和原理。即：在高科技时代，图论中的全息互联网原理。时代发展到今天，宏观调控与综合调节问题，已变得无所不在，无比重要。失控，是当代人类社会发展中的最大危机。同时，在人工智能领域中，从一开始，就要牢牢做人工智能的主人，全面掌控，不能沦为人工智能的奴隸。

一、终极证明四色问题，路在何方？

这是方法论提出的时代之问

在肯泊从茫茫荒原中，找到了证明四色问题的战略突破口之后，要终极证明数学四色问题，路在何方？这是方法论提出的＂时代之问＂。

继续走肯泊按构形分类进行证明的老路？它已经完成了其阶段性的历史任务，树立了一座里程碑。在进入了终极证明新的阶段后，继续“率由旧章”，已经经难以为继、为力、为证了。1976年美国数学家阿佩尔和哈肯借助电子计算机的证明，巳臻其极，未能成功。那么，简化和改良构形分类的方法呢？由于在构图过程中出现了“四色妖魔”现象，其成功的希望也很渺茫。用流行的“极大图”理论和方法进行证明，图无定形，率意而为，由于其自身的性质就是一个可以改变自身线路的的个别图，不管怎么变，都是“四色妖魔”的天下，难言终极证明。转移困局，在实证中类似同“四色妖魔”捉迷藏，难有胜算。……

显然，在进入了四色问题终极证明的新阶段后，没有大视野、广视角和新发现，不从总体上确定和开辟出新的证明之路，面临＂茫茫大海＂（满布未知的、各种各样隐形四色线路），怎能抵达四色问题终极证明的彼岸？

我终极证明四色问题之路，是在大一统宏观调控下的综合调节理论引领下，在独立研究和借鉴前人研究所取得成果的基础上，面对无尽平面上诡秘多变的新的证境，先进行大量新的探索，由于发现了＂四色妖魔＂现象，从而确立了＂反求构图，正面证明＂证略，从赫五德揭示的有一个双环交叉线路的五轮图启程，持续进行转型演绎（演绎筛法），一路筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，终于开拓出一条大一统的终极证明四色问题之路，使环五轮图的全部双环交叉线路大联网，构建成功具有大一统宏观调控体制与综合调节功能的终极证明构形图。

四色定理是否成立，不可避免在终极构形图中＂一槌定音＂。

要终极证明四色问题，至少有三大前提：一是，要将平面上无尽的外向扩展型证明，转换为大一统宏观调控下有限和可视的综合调节证明。二是，用作四色问题终极证明的构形图，首先要对证明构形图自身立证。终极证明构形图的特质是：必须是不可避免形成的，具有终极证明四色问题的数学内涵，此外再也没有四色不可解的情况了。同时一定要具有普适性。（从海岛理论上说，即图的线路一定是四色海洋中已取得四色平衡的"相关隐线的显现。任何主观和随意画出的线路图，均不具有普适性。）凡不具有上述特质的图，包括终极证明图的形同质异图，由于数学内涵和资质不同，统统不是终极证明构形图。三是，要有构建和破解终极证明构形图的方法。以上三个前提不立，则终极证明四色问题，何从谈起？

二、将无尽的外向证明，转换为大一统宏观调控下

有限的可视证明

我终极证明四色问题的理论，是大一统宏观调控下的综合调节理论。从图论上说，就是终极证明四色问题构形图理论。即：在区域无尽的平面上，将不可控和诡异多变的外向＂直线型＂证明，转换为大一统宏观调控下＂环型＂的有限和可视的综合调节证明。用转型演绎（演绎筛法）构建大一统证明四色问题的终极构形图，是终极证明四色问题的核心工程。整个证明一盘大棋。在新的证明阶段和新的证境下，它同继续按构形分类证明，走的是两条不同的道路。

终极构形图理论，在证境上我形象而实际地称其为“海岛理论　”。即：视肯泊所揭示的、含有一个待填色区V的五轮图为海岛（填有A、B、C、D四色的5个区域包围着一个待填色区V），设其外是与海岛巳形成协调平衡的、未知的、无际四色海洋。除了一个已知的连接五轮图的A一C与A一D双环交叉线路（通过待填色区V）及其支撑隐线B一C、B一D和连接两者之间的D一C隐形线段外，四周满布着充分多的、自在和未知的、无定的、极其复杂的、呈任意网络状的各种二色隠线，与海岛连通。同时，还在探索中发现了“四色妖魔”现象。其他就什么也不知道了。这就是当初所面临的证境。怎么办？据此，要终极证明四色问题一定要用转型演绎迫使相关隐线逐一显现，从中筛岀和扬弃四色可解线路，正确选择四色不可解线路，不可避免地构建成功环五轮构形小岛的全部双环交叉线路，和具有普适性的终极证明构形图。“海岛理论”的称谓，不但有极佳的具象性，而且在认知和证明上，具有极大的“弹性”，赋予了定型的终极构形图以广泛的普适性。不能同飘忽的、无定型的“极大图”理论混为一谈。

现在回过头来看，可以简要概括地说：我终极证明四色问题，是从赫五德早已揭示的只有一个与＂五轮小岛＂相连的、四色不可证的双环交叉线路出发，在探索中首先重视新的发现。正是由于在艰难的探索中发现了＂四色妖魔＂现象（即：在构图过程中，往往每一步都出现四色可解与四色不可解两种线路并存。选择了四色可解线路就必定跌入＂四色陷阱＂），才使我恍然大悟：这正是终极证明四色问题的最大诡秘和玄机所在。于是，毅然决然在构建终极图证明四色问题的全过程中，确立(lì)＂反(fǎn)求(qiú)构图(gòutú)，正面(zhèngmiàn)证明(zhèngmíng)＂证(zhèng)略(lvè)，运用(yùnyòng)转型(zhuǎnxíng)演绎(yǎnyì)（演绎(yǎnyì)筛(shāi)法(fǎ)）的(de)新(xīn)数学方法(fāngfǎ)，一路(yīlù)同(tóng)＂四(sì)色(sè)妖魔(yāomó)＂博弈(bóyì)，筛(shāi)出(chū)、扬弃(yángqì)四(sì)色(sè)可(kě)解(jiě)线路(xiànlù)，正确连接四色不可解线路（正确二字很重要），使“四色海洋”中直接相关的二色隐形线路逐一显现，同五轮图连为一体，最终不可避免地形成环五轮图的全部双环交叉线路集合，统一联网。这就是我所全力开拓的新天地，和据此所要作出的具有普适性的终极证明四色问题的数学证明构形图：终极图。也就是说：终极图是对赫五德H一构形的全面扩容、重构和升级。这样，就把渺无际涯和不可胜数的证明，纳入大一统的、全方位终极证明的网络之中。四色问题能否得到终极证明，必然和不可避免地在终极图中“一槌定音”。结论是四色定理成立。 就这样，乘转型演绎的数学方舟，走反求的风浪航道，终于抵达了四色问题终极证明的彼岸。

在此，需要辨明的是：终极图与证界所称＂极大图＂不是同一个概念。＂终极图是一个明晰的数学证明上的概念，是不可避免形成的终极证明四色问题的定形图。“极大图＂是一个飘忽无定的、混沌的模糊概念，是证者根据需要主观画出的证明四色问题的“理想国”，泛指含有待填色区V的、全部由平面三边形线路构成的、其外为5点3色（或3点3色）的非定形图。当辨：第一，它是名副其实的“极大平面图”吗？第二，在构图过程中遇到”颜色冲突”，如何处理？第三，它是否不可避免形成的，那里是否依然是＂四色妖魔＂的天下？第四，它的证明具有普适性吗？说穿了，其数学内涵不外是可以代表一些极为有限的含有待填色区V的任意个别图。它代表不了、也无资质代表所有个別图，所得到的只能是有限的某些相对性证明。）

至于历史上曾经出现过的几个与终极构形图类似的图，徒具形式，不具有终极证明四色问题的资质和数学内涵，所证明的只能是它自身，或局部证明，并不是终极证明构形图。

至于双环交叉线路九点构形图的证明，一开始就掉进“四色陷阱”了。

至于五轮构形图中，凡含有三轮或四轮顶点的图，其证明显然也不能被认为是对五轮构形图的完备证明。理应归于三轮或四轮构形图内。

在此，对于终极证明构形图理论来说，同样有一个根本性的问题，要首先作出回答。即：如何使终极构形图理论转化为证明的实际，将无尽平面上的无穷尽证明，转化为在图论中有限和可视的终极证明？这是第一个不可回避的大难关：“天下第一关”。(附言：在“极大图”中对四色问题的终极证明，不管是否意识到，实际上是在“蒙混过关”啊！）要跨越它，靠的是环五轮图的转型演绎。成败的决定性关键期是构图的前三步。这是＂黄金三步＂的＂窗口期＂。即：在待填色区V同其外遥远的一个回归极点W之间，先立其大，奠定终极证明四色问题的大格局，形成一个对称的、规范的大＂证明场＂。（第四步就完全确定了终极图的疆域。）确保转型演绎的构图运动能充分展开，从而将无限的外向扩张性的＂直线型＂证明，不可避免地转换为环绕五轮图运行的有限和可视的＂环型＂证明，使终极图理论落实为可操作的、活生生的证明的现实。（非＂黄金三步＂，就会使终极图的构建＂胎死腹中＂。当然，其后也还有战术性的博弈和线路选择问题。要注意选择最短线路和警惕“四色妖魔装死”。具体详见终极图的分步构成图。）

＂黄金三步＂，是使只有一个双环交叉线路的五轮图，从无限的外向证明转换为大一统宏观调控下有限与可视证明的定律。是终极证明四色问题的第一定律。简称＂黄金三步＂律。

将无限的外向证明，转换为有限的可视证明，是一门大学问，，路构成的直线型外向证明，在一定条件下，可以转换为环五轮图运转的环型证明。其原理就是用五轮图自身运转的小循环，带动全图的环型运转。这是四色问题可证的图论基础。对环绕双环交叉线路的五轮图进行转型演绎，首先就是为了完成这个使命。

有证者质疑：用转型演绎构建终极图，为什么第二步、第三步有近路不走，非要"绕大圈子＂？这个问题提得好！（雷明提出的。）这是因为：在第一步打破了双环交叉线路后，首要的问题，是要确定外向型的返回极点W，以及第四步转型演绎时（五轮图围栏自身染色变化的第一次小循环），在宏观的整体上确立：从无尽的外向证明，转变为大一统宏观调控下有限和可视证明的整个疆域。所谓＂绕大圈子＂，实质上是进行这种大的战略迂回啊！机不可失，时不再来。当知，任何在赫五德原有双环交叉线路的三个外圈顶点之内构建的图，由于不具备环五轮图转型演绎的足够大的空间（形不成无尽的循环），统统不可能成为终极证明四色问题的图，也不能视为将外向的无限证明转换为内向有限证明的图。这样的图，从其总体上说，就是一个没有外极点的由赫五德双环交叉线路自身构成的三边形封闭图。在这样的三边形封闭图内，转型演绎四步而止，是不可能构建出大一统证明四色问题的终极图的，其证明更不能同终极图的证明相提并论。

在此，也提醒我们：要构建终极图证明四色问题，一定要在“直立型”的双环交叉线路五轮构形图中进行，而且一定要突破初始双环交叉线路的束缚。在实证中也证明了：在“翻转型”的双环交叉线路五轮构形图中，不可能构建成功终极构形图和使四色问题得到终极证明。这也是一个新的重要发现啊！同时在构图问题上揭示了：为什么按照构形分类证明理论，形不成外极点W和大证明场，克服不了“四色妖魔”现象，因而不能终极证明四色问题的实际症结所在。

可以断言：凡不是用转型演绎不可避免形成，并最后出现无尽大循环的图，都不是将无限的外向证明，转换为有限和可视证明的图。

终极证明构形图的特质是：统一性、完备性、系统性、普适性和不可避免性。此外，再也没有四色不可解的情况了。

从图论的辨析上看：终极图的待填色区V与其外的返回极点W，两个对立的顶点之间遥相统一，是由转型演绎构成的互为回归的终极证明图的构形图。全图为：以含待填色顶点V的五轮图为核心的五星形三圈构图，外连外极点W。待填区V与外极点W各拥有五个顶点。五轮图中心顶点V直接相邻的5个顶点为4色。外极点W以二色线路连接的外圈5个顶点为3色。两者之间相邻的由5个顶点形成的中圈为5点4色，且其中每个顶点均与上下左右6个顶点连接，是充分连接内外两个五轮构形的纽带，在转型演绎中可视为是环形的综合调节＂库区＂。由于终极图构成后的全部双环交叉线路和顶点，为V与W两个极点共有、共用、共享，所有顶点线路共同形成了互联网，无一不在＂线上＂，显然，这就是使四色问题由外向的无尽证明，转换为大一统宏观调控下有限与可视证明的拓扑结构图。

由此，可以得出：从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮图出发，无论是按顺时针方向或者按逆时针方向，环五轮图正确进行转型演绎，形成了在待填色区V与返回极点W之间统一的大证明场，所生成的终极图一定可以而且已经使四色问题从外向的无尽证明，转换为大一统宏观调控下有限与可视的综合调节证明。从而，实现了使海岛理论转化为实际构图证明的整体性飞跃。这是终极证明四色问题的第二定律。或称终极证明构形图生成律。

显然：凡不是首先用三步转型演绎确定外极点，将无限的外向证明转换为大一统的有限和可视证明，进而在这个大一统的证明场中，一路持续同＂四色妖魔＂现象博弈，筛除、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，最后形成全部双环交叉线路集合的五轮构形图和出现了无尽的大循环，即使画出来图形同，但是质异，不具有终极图的资质和数学内涵，可以断言：统统不是也不可能是终极证明四色问题的图。不能混为一谈。

在终极图中，除了＂开门见山＂，统一作出的＂一槌定音＂的证明外，每一步转型演绎就是一个双环交叉线路系列，可以作出一个证明。从任何一个顶点启证，也都可以得到证明。这些证明，都是终极证明。通过对角转形演绎和邻角转型演绎互换，可以作出240个证明。这是终极证明四色问题的第三定律。或称终极构形图证明的全复盖律。

综上可知：构建终极图，首先要在无尽的平面上，确定两极定位的大格局，使转型演绎具有充分广阔运行的天地。其数学内涵是，用转型演绎构建终极构形图证明四色问题，一是网学：在这个大格局中，用转型演绎编织降服＂四色妖魔＂的天罗地网。二是场论：构筑终极构形图，就是构建大一统的四色问题证明场。寓于其中的，是穷通变化之理，两手应对之策，和＂一槌定音＂、＂孔雀开屏＂与直接登顶之证。三是生态：在终极图的大一统宏观调控下，其整个疆域就是一个自为的四色自由王国。

用转型演绎构建终极图，终极证明四色问题，是高瞻远瞩，实证为＂王＂，融会贯通，一统天下。远超和优于为归纳型图论所拘，继续按构形分类的模式证明。按构形分类的模式证明，只能作出程度不同的一些相对性证明，不可能臻于终极证明与自为的自由王国之域。

最后，还有一个问题要集中回答：终极图是一个大一统的有四色可解环的构形，那么，没有四色可解环（＂克星＂环）的双环交叉环的构形，是怎样证明的？回答是：在用转型演绎＂一开一合，吐故纳新＂构建终极图过程中，以第十五步终极图封图为界，之前所筛出、扬弃的全部都是这类无四色可解环的四色可解图。即：在构图过程中已先期证明过了。终极图线路网络构成之日，就是全部无四色可解环的双环交叉线路构形图，必将得到证明之时。逻辑很简单：有四色可解环的双环交叉线路图，同没有四色可解环的图，是不能同时并存的。就是说，构建终极图是以筛出、扬弃没有四色可解环的构形图为前提的。当知：在构建终极图的全过程中，无四色可解环的构形是一种过渡性构形。终极图对四色问题的证明，包括构建终极图过程中无四色可解环构形的全部证明，和终极图构成后对有四色可解环构形的大一统证明。比喻：在一场整体的大战役中，要围歼敌军，所歼灭的不仅是被围歼的敌军，还包括在形成合围全过程中歼灭的敌军。

由于这个问题在某些证者中纠缠了很久，至今仍是对终极图证明在认识上的一个主要障碍，故不厌其烦，再重复解释一遍：用终极图证明四色问题，分两个阶段。反求构图阶段，同时就是先期证明双环交叉线路五轮图中无四色可解环构形的阶段。在构建终极图过程中，第十五步封网之前所筛除、扬弃的四色可解线路图，统统都是、无一不是无四色可解环的图。（全部可以在被筛除、扬弃的四色可解线路中检视到。）否则不可能在第十五步封网时构成有四色可解环的终极图，和形成全图无尽的大循环。这是逻辑，也是常识。无四色可解环的构形，全部筛除、扬弃之日，就是终极图互联网构成之时。君不见：终极图的构形，就是大一统的环五轮图的全部双环交叉线路集合的（也是全部四色不可解线路集合的）构形吗？奶酪已经吃进肚子里了，怎么还要屡屡追问奶酪在哪里？请问：不筛除、扬弃无四色可解环的双环交叉线路的五轮构形图，能构建成功有四色可解环的终极构形图吗？显然，以上提出的质疑，是站在按构形分类证明的立场上，用孤立和静止的眼光来看待终极图的证明。

＂普天之下，莫非王土。＂（《诗经》）终极图的构形，就是经过全程转型演绎（演绎筛法），扩容、重构和升级了的大一统的赫五德双环交叉线路五轮图构形。即：全部双环交叉线路互联网的构形。

在计数上，1+1=2。在终极证明四色问题的图论中，要1+1=1。

三、确立＂反求构图，正面证明＂证略

下面，再进一步从证明的总体实践上，纵横交错，前后呼应，完整和系统地分别加以具体论述。（鉴于我走的终极证明之路，是不为人知的新路，为便于读者、证者阅读和研究，故不避某些必要的重复，以至有意重复）：

（一）确立＂反求构图，正面证明"证略，走大一统终极证明四色问题之路。

如果“开门见山”，再次问我：“对数学四色问题，你是怎样证明的？依据是什么？”我也可以换用另一段最直接、最明确的话回答：走大一统终极证明之路，将无尽平面上诡异多变、四色无控的自在状态，转换为大一统宏观调控下有限和可视的综合调节证明。由于我在探索中发现了＂四色妖魔＂现象（即：在构图过程中，不管你是否意识到，每一步、每一笔往往面临四色可解与四色不可解两种线路选择，选择了四色可解线路就必然跌入＂四色陷阱＂），从而在证明的顶层设计上，确立“反求构图，正面证明”证略。抱绝地求证的决心，从赫五德只有一个双环交叉线路的五轮图出发，坚持用转型演绎（演绎筛法）环绕五轮图，一路同＂四色妖魔＂博弈，筛出、扬弃四色可解线路及由其形成的四色可解图，正确连接四色不可解线路，构建大一统的证明四色问题的终极构形图。即：环五轮图的全部双环交叉线路网络架构。（亦即：全部四色不可解线路集合。）整个证明＂一盘棋＂。由于终极图是不可避免形成的，此外再也没有和不可能有四色不可解的情况了，在转形演绎中形成了无尽的大循环，显然，四色定理是否成立，不可避免在终极图中“一槌定音”。这是铁的逻辑。大一统证明四色问题的终极图不可避免构成之日，才是正面开启四色问题终极证明之时。否则，图无尽，即使作出了一千个证明，一万个证明，统统都只能是不同程度的相对性证明。或曰＂四色陷阱＂中的证明。

同理，按构形分类理论证明四色问题，不管怎样分类，也同样避不开＂四色妖魔＂现象。这是“魔咒”。

当悟：当四色问题证明进入了终极证明新阶段后，证境发生了巨大变化，仍试图坚持按过时了的＂构形分类＂理论，终极证明四色问题，看来是＂夸父追日＂，遥遥无期，希望渺茫。

终极构形图是由环五轮图的全部双环交叉线路不可避免构成的，这是一个什么概念？全部四色不可证的双环交叉线路联网了。不可避免地联网了。这是四色问题证明历史上的一个具有里程碑意义的巨变。在大一统宏观调控下，通过可控换色，使四色问题从不可证的自在的必然王国，进入了无不可证的自为的自由王国。其巨大变化是：

（1）将无尽地外向证明，转换为大一统的、内向的、有限与可视证明。

（2）将原来无四色可解环（＂克星＂环）的构形，全部变成了环五轮图的、大一统的、有四色可解环的构形。可以作出＂一槌定音＂的统一证明。

（3）原来的每一个不可证的双环交叉线路，都变成了一个有＂克星＂环（四色可解环）的可证明系列。

（4）原来的四色不可解线路，通过可控换色统统变成四色可解线路。

（5）从任何一个顶点启证，都可以得到四色可解、可证。

总之，原来的四色不可证，统统可以变成四色可证。

尊敬的数学女王和研究者，请问是这样的吗？也希望读者发表自己的看法。

在终极图中进行证明，所得到的终极结论是：四色定理成立。首先，＂开门见山＂，赫然出现了大一统的四色可解环：A一C与A一D双环交叉线路的＂克星环＂A一B环及其副环C一D环，可以在总体上作出"一槌定音＂的证明。而且在终极图中无不可证：每一步转型都可以作出一个证明。从任何一个顶点启证，都可以得到证明。对角转型演绎（四环演绎）同邻角转型演绎（三环演绎）之间转轨，还可得到各种染色不同的全部240个证明。从任何一个顶点启证，都可以得到终极证明。特别是，还可以作出直接将A、B、C、D四色直接填入待填色区V的“登顶”证明和“亚登顶”证明。乍听起来，神乎其神，甚至斥其为“做梦”和胡说八道。但这些无一不是实实在在的。一句话：证明透了。四色问题的证明从自在的必然王国，已经跨入了自为的自由王国。

敢峰图的证明原理，就是大一统“互联网式”的可控换色原理。

从四色问题证明的历史发展上看，用归纳型图论证明四色问题的阶段，在亮丽地完成其从茫茫洪荒中，找到了证明四色问题的战略突破口（五轮构形图）的历史任务后，已经基本结束。赫五德提出的有一个双环交叉线路的五轮图就是其终结的标志。同时以此为新起点，开启了漫长的、步履艰难的终极证明四色问题的新阶段。在这个阶段中，进行了许多有价值的探索，取得了多方面的成果和长足进展，特别是对走出＂困局＂的探索和转型换色的实践，以及各种对构形和染色方法的研究，大大充实了图论的＂工具箱＂和数据库。但是，在认识论和证明的方法论上，并没有战略性的大突破。明显展示的往往是＂率由旧章＂，以补肯泊证明的＂漏洞＂。主观和孤立地构图，就图证图、论图，欠缺大一统的整体证略思考和辩证思维。基本上没有摆脱归纳型图论的局限，仍继续拘于和沿用静止的＂构形＂和＂可约性＂的旧章证明。1976年借助电子计算机的证明，臻其极。未发现或无视＂四色妖魔＂现象，困于构图迷宫，大多滞留在五轮图战略突破口的近海恋战、苦战，在证明思路和图论上久久未见有新的重大突破，终致转热为冷，很少有人再问津。这种证明态势不改变，不行啊！真的不行啊！钻了进去，还要跳出来啊！

（二）我终极证明四色问题的底气何来？

再问：你以上的立论，底气何来?当你开始用转型演绎构建终极图时，就预知这样做一定能证明四色定理成立吗？

问得好！

我证四色，底气何来？最大的底气是：因为我发现了＂四色妖魔＂现象，找到了终极证明四色问题之路，浴火重生。否则，即使是数学天才、四色权威，也只能望洋兴叹。或者自我陶醉于＂四色陷阱＂中的证明。

＂四色妖魔＂现象的发现，极为、极为、极为重要。它使我在四色问题证明中＂浴火重生＂。从而，确立＂反求构图，正面证明"证略，在同＂四色妖魔＂的博弈过程中，创立了转型-博弈图论，即转型演绎和博弈的新数学，突破了归纳图论的局限，大步迈入演绎图论领域，一路跨越＂四色陷阱＂，走出构图迷宫，“破天荒”第一次严格和全部用四色不可解线路构建终极证明四色问题的构形图。终极构形图不立，绝不言证明。否则，可以断言：四色问题是决计不可能得到终极证明的。有一点空隙、漏洞和疏忽都不行，“四色妖魔”会同证者“捉迷藏”啊！

如果进一步问我：＂你证明四色问题的底气，是不是来自在证明前，就知道四色定理一定成立呢?＂答曰：就学术研究而言，准确地说，是判断。因为在微观层面，根本不存在、也不可能存在5个区域都能互相邻接的图。这是铁的事实。任何一个区与周围相邻的n个区，只需用四种颜色，就可以把它们互相区别开来，而且必有一色被包围和掩盖，可以用来作为其外的宏观控制色。这是四色定理可证的雏形和基石，可以视为“微观四色定理”。同时，更要清醒看到：图在向外扩展中，它又受到宏观证境和条件的严格制约。风云变幻，图无定形，色无定位，同色相斥、纠缠和产生回流的情况所在多有。整个图形四色变化的矛盾运动，皆由此展开。海平也有浪起时，以及大浪滔天的情况啊!

由于我们已经从探索和证明实践中知道，任意图的四色可染是一个大概率，遇到同色相斥、纠缠和产生回流现象时，总可以经过可控换色进行调节来解决。至今尚未找到有任何一个图，被断定是四色不可染的。如果真的找到了一例四色不可解的图，那就建立了奇功，对四色定理就可以“一票否决”了。由于在无尽平面上，任意图是无穷无尽而又诡异多变的，对此并未能得到四色问题的终极证明，无法从数学上肯定此外再也没有、也不可能有四色不可解的情况了，即：得到四色定理成立的终极证明结论。而且在现实中，四色纠缠难解的情况比比皆有，此伏彼起，矛盾转移，甚至牵一发而动全身，难以为证。因此，不能脱离整个大的实际，凭某些情况下和有限范围内的四色可解，就认为终极证明了四色定理。

当知：某些任意平面图的四色可染（可解），同四色定理的数学证明，是两个不同层级、不同范畴的概念。要终极证明四色问题，其关键何在？究竟难在哪里？说到底，其至难不在具体图的染色本身及其“算法”问题。继续按传统的构形分类方法进行证明，“多龙治水”，也只能得到一些程度不同的相对性证明。（当然这些也都是可贵的。）

当悟：由于在无尽平面上，图是无穷无尽的，变化无常，构形无定，诡异难控，在数学上要终极证明四色定理是否成立，其关键和至难，是怎样才能在茫茫图海中，探索和开拓出一条终极证明四色问题之路，不可避免地构建成功具有大一统宏观调控体制，和有综合调节功能的证明四色问题的终极构形图。否则，证海无涯，诡异多变，“四色妖魔”出没其间，怎能抵达四色问题终极证明的彼岸？

因此，在找到了证明四色问题的战略突破口，拉开了终极证明的大幕后，在当前态势下，要终极证明四色问题，一定要拨开迷雾，高瞻远瞩，从浅滩、近海进入大海大洋，在新的探索中，根据新的发现，开拓出一条大一统终极证明四色问题之路。由此，我终极证明四色问题的最大底气，首先就来自于发现了“四色妖魔”现象。这正是四色问题难证的诡秘所在。由此，使我在证明思路上豁然天开。从1992年的一证开始，就确立了“反求构图，正面证明”证略，创建了全套完整的转型演绎新的数学方法（包括四环演绎、三环演绎以及两者之间的转换），一路同“四色妖魔”博弈，“咬定青山不放松”。（前贤诗句）就这样进入了证明逻辑，不畏艰险，善于应对。不嫌麻烦，不抄近路，不图侥幸，坚拒诱惑。而且“如履薄冰”，确保中途不出任何疏漏和错误（包括修正了错误）。如此坚持不懈，一往无前，就必然终于使四色问题“水落石出”，云散天开。从只有一个双环交叉线路的五轮构形图所显露的“冰山一角”，到全部“冰山”显现，构建成功环五轮图的全部双环交叉线路集合的五轮构形图，得到四色定理成立的终极结论。＂四色妖魔＂被罩进终极图的天罗地网了，终于转变为“四色仙子”。

概括起来一句话：走“否定”四色定理成立的航道，不断排除四色可解，却最后抵达了四色定理成立的彼岸。这是不用穷举法（包括“类穷举法”）而能穷尽一切的证明法。

我终极证明四色问题的底气还在于：虽然我当初是门外汉，但毕竟我也算是一个做学问的哲人，一个敢攀高峰的志士，以飞鹰与蚂蚁相统一的＂鹰蚁人＂自励。对于四色问题的证明，我也有着某种＂旁观者清＂的相对优势。钻进去、跳出来，又钻进去，已历经40个寒暑。从1992年的《一证》开始，转型演绎和终极图岿然不动，其后的证明都是一脉相承，扩展证果，精益求精，更上层楼。直至使四色问题的证明，从自在的必然王国跨入自为的自由王国，并作出了直接将A、B、C、D四色填入待填色区V的“登顶”证明。这些都是可以实际检验和经得起历史检验的。欢迎大家来“划船”和提出质疑。何况一个真正的探索者，即使证明失败，也要一探究竟。

在真理面前，“无视山高欺月小，横空出世傲汪洋。”（《赠友人》）这就是一个真正的探索者应有的底气。这些，并非与学术研究无关的“多余的话”，而是极为重要的学术精神。

从1992年至今，我构建的终极证明构形图和“一槌定音”的得证图如下：（终极图的构图过程，当时是用20步对角转型演绎，即四环演绎：由A一C环、A一D环、B一C环、B一D环四个＂演员＂参加。在本文中，我又用60步邻角转型演绎构图，即三环演绎。由A一C环、A一D环、C一D环三个＂演员＂参加，重新构建终极图。两者都是第十五步封网，终极图实际构成，20步或60歩全图回归原方位。）

释证：在终极图中A一B环内（或环外）进行C与D二色互换，破解A一C与A一D双环交叉线路，形成了A一C和A一D两个非交叉环。分别在两个非交叉环内进行B与D、B与C二色互换，使五轮图沿（围栏）成为3色，然后将B色填入待填色区V。上图是在A一B环内进行C与D二色互换所得到的证明。

在此，敢问尊敬的证者和读者，在不知或不明白我的证略、构图过程和释证之前，能看明白终极图及其证明吗？大概是很难甚至无法看明白的，往往误认为是一个个别图的染色证明，或者干脆说：“看不明白”。就连我这个身临其境的当事者，都惊诧不已，连叹“天工”。诸如：（1）只有9个顶点的双环交叉五轮图，怎么增加了8个顶点，就变成了环五轮图的全部双环交叉线路集合的五轮图？看不出来啊！横看竖看，就只有一个双环交叉线路。

（2）全部双环交叉线路，又是怎样、怎能如此巧妙地＂天衣无缝＂交织在一起的？不多一个顶点，也不少一个顶点。不多一段线路，也不少一段线路。特别是，为什么还竟然不可避免地形成了所有双环交叉线路的“克星”环（四色可解环），如影随身，可以联袂登场，逐一进行证明？（3）为什么在终极图的持续转型演绎中，会出现环绕终极抅形图自恰的无尽大循环？这究竟说明了什么？（4）终极构形图的数学内涵是什么？既曰终极构形图，为什么图中没有任何无四色可解环的双环交叉构形？

……

这些都不是脱离终极证明四色问题之路，孤立和静止地就图论图、就问题论问题，可以看明白和解释清楚的。因为这些情况都是走终极证明四色问题之路，必然出现和发生的，是四色定理客观存在的、不以人的主观意志和愿望为转移的规律性反映。只用归纳图论的方法，孤立和静止地作逻辑和证理上的解读，无法透视与理解终极图的生成及其数学内涵。（犹如对电影只看到其中一个静止的终结性画面或某些孤立的画面。）它同主观、或随意、或碰巧画出这样一个图，在数学证明上是根本不同的两回事。两者有天壤之别。异中识同，同中辨异，这也是认识上一项高层次的基本功。

（三）终极证明四色问题之路的综合构成“要素”。

综上所述，我终极证明四色问题之路，概括起来说，其综合构成的“要素”是：

（1）我证明四色问题的理论，是终极图理论（海岛理论），或曰大一统宏观调控与综合调节理论。即：将无尽区域平面上不可控的外向证明，转换为大一统宏观调控下，有限和可视的综合调节证明。（这句话乍听起来，似乎有点“玄”，其实，正是全部四色问题终极证明中最重要的一句话：证明之魂。）

（2）我证明四色问题中新的、具有决定意义的重大发现，是＂四色妖魔＂现象。这正是隐藏在四色问题证明中涉及全局的最大诡秘所在。

（3）基于此，我证明四色问题的证略，是＂反求构图，正面证明＂。把整个证明严格划分为＂反求构图

＂和＂正面证明＂两个战略阶段。反求构图必须严格坚持两条铁规，完成两项使命：一是，图是不可避免形成的。二是，此外再也没有四色不可解的情况了，所有过渡性的、无四色可解环的双环交叉线路构形，在构图过程中，因四色可解逐一被先期筛出、扬弃了。即：在构图过程中，先期证明了。否则，不可能形成终极图。当知：“反求构图，正面证明”证略，是我在构图终极证明四色问题过程中，应对“四色妖魔”的“大招数＂啊！

（4）我证明四色问题的新数学方法，或曰“前沿数学”，是转型演绎(转型-博弈演绎）。从哲学上说，就是“穷则变，变则通”，通则达。转型演绎是同“四色妖魔”博弈的大将军与开路先锋。是构建终极图的天才工程师。

（5）我证明四色问题的数学工程，是根据“海岛理论”，用转型演绎（演绎筛法），在同“四色妖魔”博弈中，构建大一统证明四色问题的终极图。

（6）我构建终极图和证明四色问题的原理，说到底，是可控换色原理。 在用转型演绎构图过程中，表现为＂一开一合，吐故纳新＂，筛出、扬弃四色可解线路（全部是过渡性的无四色可解环构形的线路），正确连接新的四色不可解线路，环五轮图依序形成新的交叉环。在终极图的证明中，就是互联网式的可控换色原理。

这条路，就是大一统宏观调控下，综合调节的终极证明之路。

（四）图是载体，立证必须要立证明图。

用图论证明四色问题，离不开图。立证必须要立证明图。证明图不立，何以实际立证？但是，立证明图必须要立思、立论、立证略和方法。还一定要问：证明图是怎样形成的，辨析其数学内涵和是否具有终极证明四色问题的资质。不能唯图形论，信奉图＂图腾＂。＂不管图是怎样构成的，只要能证明就行＂，这是一个伪命题。因为不存在这种可能。（即使瞎猫碰巧逮住了死老鼠，能被认为是逮住了老鼠吗？何况没有啊！）从认识论和方法论来看，在各个领域类似的命题，本身都是有特定内涵和制约性前提的，不宜率意滥用。在四色问题终极证明过程中，这也是一个莫大的认识和证明误区：不认识四色问题证明已进入了新的阶段，仍拘于或醉心于构形分类证明理论，不明或不理睬＂四色妖魔＂现象，不问证明图是怎样形成的及其数学内涵，率由旧章，一心想找到终极证明四色问题的分类构形和图，以至跌入＂四色陷阱＂不自知，困于构图迷宫任意闯撞。这是终极证明四色问题的大忌。试探可以，但要知返。（附带说明：各种合理和有据的分类证明与其它证明，在实际应用中，均有其相应的价值。不要否定也否认定不了。在本文中，论证的是四色定理的终极证明。）要避免＂削足适履＂，按构形分类证明目光，孤立和静止地看待终极图及其证明，误认为终极图是一个个别图或分类图，纳入其分类图中。这就把全局和局部弄颠倒了。

特别是，还有证者误将终极图同上个世纪初出现过的只有十七个区域的Errera图（埃雷拉图）混为一谈。“张冠李戴”，移花接木，搞图“图腾”。当知，终极构形图是有双重身份的：个别图与终极图。犹如一国的总统，既是公民，又是总统。即使画出的图同终极图一模一样，在证明四色问题上，不验明其是否具有＂总统＂身份，行吗？不是＂不可避免形成的＂和＂此外再也没有四色不可解情况了＂的图，能终极证明四色定理吗？只要问一句：＂图是所以立和怎样构成的，其数学内涵是什么？＂就整个破局。还有1992年在牛津大学数学季刊上同终极图同一时期出现的米勒图（H-M图），和1997年在《美国数学月刊》上出现的C-K图，在不同程度上都是这样的图：不明图之所立及其数学内涵。图不能立，何以为证？米勒图作者对赫五德含有C一D环的原图进行“赫五德颠倒”，三步四色可解，又对Errera图如法泡制，发现出现小循环，放弃了。C-K图作者自称是＂试探式证明＂。并植入＂构件继续进行探索。…为什么在四色问题证明史上，会出现这种图形相似甚至相同的现象呢？并不奇怪。

敢峰终极构形图，与其形同质异图相区别，有五个基本特征：（1）它是从赫五德有一个双环交叉线路的五轮构形图启程（舍去了C一D环和多余线路），一路同＂四色妖魔＂搏弈，用转型演绎（演绎筛法）不可避免形成的环五轮图全部双环交叉线路集合。（2）它形成了全图无尽的大循环，所宣示的是：此外再也没有四色不可解的情况了（3）终极图的生成和证明理论是“海岛理论”，它对应无尽平面上充分多的未知区域，在构图与证明上具有充分的普适性。（4）它明确具有有大一统的调控体制和全部双环交叉线路的证明系列。（5）它使全部双环交叉线路和顶点统一联网了，使四色问题的证明从自在的必然王国，进入自为的自由王国。

现知与敢峰图相似甚至相同的图，其与敢峰图的根本区别在于：无一是同＂四色妖魔＂博弈中不可避免形成的，不具有终极图的数学内涵，不能证明此外再也没有四色不可解的情况了。从图的性质上说，就是个别图或相对性证明图，同敢峰终极图是两个天地。其整个疆域无一不是＂四色妖魔＂的天下，破解了也只能是相对证明。有证者不明此况此理，误将Errera图这个个別图取代敢峰终极构形图，并进而提出“Errera(埃雷拉）族图＂的概念，＂张冠李戴＂，移花接木，把“E一图”的帽子戴在敢峰终极图头上，把敢峰终极图所具有的数学内涵移接给E一图。这就把证明的一江清水搅混了。尊重前人的探索，不宜搞图＂图腾＂啊！既无任何传承关系，又无共同数学内涵，何“族”之有?图，不是不可避免构成的，不能证明此外再也没有四色不可解的情况了，在性质上统统不是终极证明四色问题的构形图。这就是我对此最根本的回答。当知：辨异也是证明不可缺少的基本功啊！。

四色问题的终极证明，是要将无尽平面上外向的、错综复杂、诡异多变的区域图之四色问题证明，转换为在大一统宏观调控下，有限和可视的综合调节问题。这是我立思、立论之本。，

＂四色妖魔＂现象的发现，是我立＂反求构图，正面证明＂证略之据。

转型演绎（演绎筛法）的数学方法，是我在同＂四色妖魔＂博弈中，应运而生的＂前沿数学＂。

终极图及其证明体系，是在用转型演绎同＂四色妖魔＂博弈中，筛出和扬弃四色可解线路后不可避免形成的，是环五轮图的全部双环交叉线路及其“克星”环（四色可解环）的集合。此外再也没有四色不可解的情况了。

由此，在终极图中，四色定理是否成立，不可避免＂一槌定音＂，而且还展示了四色定理无不可证，使四色定理的证明，从自在的必然王国走进自为的自由王国。这就是四色问题终极证明之果。

四、终极证明四色问题，其奥秘和关键在哪里？

要在实践中终极证明四色问题，其奥秘和关键在哪里？是＂四色妖魔＂现象的发现，使我确立了＂反求构图，正面证明＂的证略。“反求构图，正面证明”，是一个新的大创意。在四色问题证明史上，是別开生面的一枝奇葩。

为什么会出现＂四色妖魔＂现象？＂四色妖魔＂现象的本质是什么？它一点也不神秘，说穿了，就是隐藏在雾海中的＂冰山＂群（全部双环交叉线路）。它是客观存在的啊！只是你没有发现它，才感到神秘。无视它的存在，在没有显示环五轮图的全部＂冰山＂（双环交叉线路）之前，就选择了四色可解线路，将四色中的一色填入待填色区V，使四色问题证明终止，却误以为证明了四色定理。这不是跌入了＂四色陷阱＂，又是什么？

我终极证明四色问题，除了审时度势的大证明观，最重要和具有决定意义的，是因为我在探索构图证明的过程中，发现了“四色妖魔”现象。由于这个发现并未引起证者的重视，在此，我不厌其繁，还要再次反复强调：这个发现，极为、极为、极为重要。即：无论你用什么证明理论和方法进行证明，在构图过程中，统统不可避免出现四色可解与四色不可解两种线路选择并存。不管你是否意识到，或者是否承认，也不管你是数学天才、四色问题权威，在构图过程中只要有一步选择了四色可解线路，就必然跌入“四色陷阱”，无一能外。怎能无视、无感、无悟啊！

＂四色妖魔＂现象的出现，究竟说明了什么？是否说明构图终极证明四色问题，始终存在着两种可能，永远不可能得到终极证明?可能是，也可能不是。如果是＂直线＂型的、无止境的外向证明，那就永远不可能得到终极证明。但是，由于四色定理是客观存在的，现在已经能用转型演将外向的＂直线＂型的无限证明，转换为环五轮图的大一统宏观调控下有限和可视的证明了，证境发生了根本变化。因此，在构建终极证明图的过程中，四色可解与四色不可解两种线路的扬弃和选择是有限次数的。当终极证明图构成后，环五轮图的全部双环交叉线路形成了互联网，原来的外向与无限的＂直线＂型线路，在此不再永续存在什么＂两种选择”，从而变为环五轮图的无尽循环。这就是＂四色妖魔＂现象，在构建终极图过程中出现和在构建终极图成功后消失，并形成了无限循环的根本原因，即所谓的＂奥秘＂。

＂四色妖魔＂现象的发现，是我确立＂反求构图，正面证明＂证略的决定性因素，和要用全部四色不可解线路构建终极图的根本原因所在。（否则，就是我犯有＂神经病＂，无缘无故自找麻烦。）＂物有本末，事有始终。知其先后，则近道矣。＂（《大学》）破解世界数学难题，只顾埋头构图和研究构形，没有哲学思维怎么行？当悟：“四色妖魔“现象的出现，实际上是在警示：有一个双环交叉线路的五轮图，只是“冰山”的一角，其它还隐藏在云雾中。终极证明四色定理的条件不具备。其实，从五轮图证明伊始，“四色妖魔”现象就开始出现了。肯泊没有发现，竟然成为历史上对四色问题证明卓有贡献，同时又是第一位令人钦敬的跌入“四色陷阱”的数学家。

“四色妖魔”现象的发生，宣布了：長期奉为圭臬的，用静止的“不可免构形的完备集”和“可约性”，分別证明四色定理的时代，在完成其历史使命后，已经终结。 

“四色妖魔”现象的发现，启示我们：要终极证明四色问题，不能“率由旧章”，一定要在原有已奠立的基础上，面对新的发展变化，探索走大一统宏观调控下终极证明四色问题之路。

再说一遍：这，就是我确立“反求构图，正面证明”证略，用转型演绎（演绎筛法）构建大一统的证明四色问题终极构形图的由来。终极构形图不立，绝不言证明。

说穿了：我终极证明四色问题，首先就是在证途中发现和破解了“四色妖魔”现象之谜。

请恕我不得不说一句似乎无礼却是有理的诤谏之言：在数学四色问题证明上，无视＂四色妖魔＂现象，即使是一位数学天才，四色问题权威，也不是明白人。

我证明四色问题，无可恃之才学，曾自嘲为＂林冲误入白虎堂＂，是外行进入，穿着＂开裆裤＂上路的。正是由于在探索中发现了＂四色妖魔＂现象，才＂浴火重生”。

“浴火重生“是一种升华。肯泊的构形证明理论，是模式证明理论。构形证明模式，是肯泊的伟大发明，是常青的。终极证明图，就是大一统的终极证明构形图。问题在于：肯泊原本指出的构形与可约，都是静止和原生态的。敢峰大一统终极证明图的构形图，不是原生构形，而是在双环交叉线路五轮图构形的基础上，用转型演绎不可避免构建成功的。

五、终极证明四色问题的＂双子塔＂：转型演绎与终极图

终极证明四色问题的大一统理论，不是＂空中楼阁＂。它的两根擎天支柱，就是转型演绎和终极图这一对联通的＂双子塔＂：用转型演绎构建终极图，在终极图中证明四色定理。

为什么要进行转型演绎？就是打破双环交叉线路对五轮图的桎梏，解放四色问题证明的巨大能动性。即：通过五轮图沿（围栏）染色类型的有序变化，开展构图、辨图和证图运动。形象地说，就是通过五轮图沿（围栏），依序进行转型所形成的自转，象＂齿轮＂和＂皮带＂一样，通过五轮图的转型带动整个构形图的构建和运转，形成联为一体的双循环。使一个孤立、静止的四色不可证的图，变成一个能动性的、生机盎然的四色可证图。

持续进行转型演绎，通过五轮图围栏的自循环，带动终极图的构图运动和全图运转的大循环，共同不可避免地形成了：具有四色可解环的终极证明四色问题大一统的证明体制，完备的证明系列，和四色问题无不可证的功能。这就是终极构形图理论转化为证明实际的生动写照。分别论述于下：

（一）首先，要特别指出：转型演绎是终极证明四色问题活的＂精灵"，即关键和核心技术。用全视角的大视野来看，其五大功能是：

（1）它打破了归纳型图论的局限，把四色问题证明引入新的演绎-博弈图论领域。

（2）它在构建终极图过程中，始终使图按照顺时针或逆时针方向环绕五轮图的待填色区V运转。如前所述，首先在三步之内确定了与待填色区V遥相对应的外极点W（即：回归顶点），以先立其大，从而在V与W两个极点之间，形成了一个对称的、规范的大＂证明场＂，实现了使无尽平面上＂直线型＂的外向证明，转变为＂环型＂的、图内的有限和可视证明。

（3）它是开疆辟路的先锋，降服＂四色妖魔＂的大将军，和终极图的总建筑师。

（4）它终于使无环形链（专指：无四色可解环，或称无＂克星＂环）的双环交叉线路五轮图，不可避免地转变为有环形链（专指：双环交叉线路的四色可解环）的四色可解图。

（5）最后，还有最、最重要的一点：由于转型演绎是构建终极图证明四色定理的使者，显然，它可以代表四色定理，对于五轮图构形的任何图，包括终极图自身和在构图过程中所有筛除、扬弃了的图，都是、无一不是一柄四色可解的＂钥匙＂。什么这构形，那构形，统统都是用转型演绎使其四色可解的天下。四色定理成立，同时确立了对任何五轮构形图的四色可解（可染）定律成立。两者是＂双胞胎＂，是同生共证的。

四色可解（可染）定律的表述是：在平面上无尽的任何区域图，都是四色可解（可染）的。其不可及的极限，是16步转型演绎。这是终极证明四色问题的第四定律。

至于一般的图，四步转型演绎内四色可解（可染）。当然，还需要1一2步可控换色程序。

上述的＂其不可及的极限，是16步转型演绎＂，依据是：用转型演绎构建终极图，是15步封网，封网后再也没有任何四色不可解的情况了。＂一般的图四步转型演绎可解＂，是本于五轮图围栏染色变化的自循环周期。照这样说，那么为什么还要费这么大的劲，证明四色定理呢？要首先立证啊！四色定理的终极证明不立，四色可解（可染）定律＂毛将焉附＂？

也可把转型演绎与四色定理证明，比喻为银元的两面。四色定理依靠转型演绎得到证明，转形演绎代表四色定理破解任意图。

（二）现对用转型演绎构建终极图，再作以下简明解析：

转型演绎，其功能主要是开拓终极证明四色问题的＂天路＂，变＂天堑”为通途。形象地说，犹如“九天揽月”，转型演绎就是证明四色定理的数学“飞船”。其证明哲理是：＂穷则变，变则通＂（《易传》），通则达。没有转型演绎，四色问题的终极证明，茫茫如长夜，不知何时是天明。

转型演绎（演绎筛法），是我同＂四色妖魔＂现象博弈，构建终极图和终极证明四色问题新的前沿数学，是演绎-博弈图论。在环绕待填色区V的五轮图作环形运行中，包含着五轮图围栏自身染色变化的"小循环＂和构建终极图及其永续运行的＂大循环＂，犹如地球绕太阳运行时自转与公转之＂双循环＂。

转型演绎有两种：A一C、A一D、B一C、B一D4个二色环参与的对角转型演绎，和由A一C、A一D、C一D3个二色环参与的邻角转型演绎。两者之间是相通的，可以互相转换。在终极图构成后，通过这种转换，可以游弋于不同四色染色＂星系＂（双B）、（双C）、（双D）、（双A）之间，充分展示：在终极图中证明四色问题的高度自主性和完备性。

（三）转型演绎，是我在公元1992年前探索四色问题证明的过程中，发现了“四色妖魔”现象，在同“四色妖魔”的全程博弈中应运而生的。也就是说，作为终极证明四色问题的运行理论和方法，是我在实证中首创和率先提出的。（转型换色是其初始的“胚胎”。）当初称为四色演绎和＂锁阵运筹＂。经过20步艰难的对角转型演绎（A一C、A一D、B一C、B一D四环演绎），或60步邻角转型演绎（A一C、A一D、C一D三环演绎），我终于不可避免构建成功环五轮图的全部双环交叉线路集合图：终极构形图，并回归原方位。即：全盘扩容、重构和升级了的大一统赫五德H一构形集。于1992年作出了我对四色定理的第一个“一槌定音”的证明：《证明四色问题的新数学：图论中的锁阵运筹》（＂锁阵运筹＂即转型-博弈图论。）2009年又据此缩写为《四色定理简证》。

改革开放四十年，我对数学四色问题先后作出过4个证明：

一证是 ，四色问题之“一槌定音”证明：《证明四色问题的新数学：图论中的＂锁阵运筹＂》（1992年）

二证是，置四色问题证明于绝地的“无环形链”证明：巜海岛理论与四色问题：兼论拓扑思维》（2017年）

三证是，四色问题之“孔雀开屏”证明：《五星图上＂四色仙子＂舞：三证四色问题兼论四色王国》（2017年）

四证是：四色问题之“登顶”证明。（2018年）

“登顶”证明，是指将A、Ｂ、Ｃ、Ｄ四色直接填入待填色区V的证明。（当时未发表。现已融入本文，具体证明见《登顶》部分。）

此外，在发现“四色妖魔”现象之前，1986年还有一个“初出茅庐”的全然与众不同的在大一统宏观调控下，＂逢山开路，遇水架桥＂的染色证明。也可以说，是敢峰＂算法＂。

要重复強调的是：转型演绎的最初问世，是在我同“四色妖魔”的博弈中，应运而生的。这是转型演绎的发生论。没有同“四色妖魔”的博弈，就没有全程博弈的转型演绎（不只是几步转型换色，这只是其“胚胎”。）。没有全程转型演绎，就构建不成不可避免的终极证明四色问题的终极构形图。构建不成终极构形图，四色问题的终极证明则希望渺茫。

在此，不得不郑重提及：“四色妖魔”的幽灵，还在四色问题证明的上空游荡。近些年来，转型演绎法已经成为我国某些四色问题研究者的重要数学工具。但是，如果不转变对四色问题证明的整体认识，不是首先用转型演绎构建终极证明构型图，布下捕捉“四色妖魔”的天罗地网，而是率由旧章，按静止的、分割的构形分类法构图，“四色妖魔”仍逍遥网外。只要进行严格验证，就会发现：其所得到的证明，都不是终极证明。只要“四色妖魔”出来搅局，就会迫使证者连个稳定的证明图都构建不成功。不是跌入了 ＂四色陷阱＂，就是出现了＂顾头顾不了尾＂的＂驼鸟效应＂。例如：有证者对H一构形採用“翻卷式”画法，外圈3个顶点，将无限面隐于图内。不管证者怎样应对，也不管图采用何种拓扑画法，平面图面向无限面的＂真外圈＂避不开四色啊！终极证明失败。对此，不可不察。证者、读者可以自试。倘若不信，必要时可以摆出＂棋盘＂，我扮演＂四色妖魔＂同证者对弈。

在这里，我不是说肯泊的构形证明理论错了，它已经亮丽地完成了其历史任务。而且构形的概念，至今仍然是终极证明四色问题的一个极为重要的概念。当年肯泊提出的＂构形＂，是根据大数学家欧拉确立的平面图欧拉公式，进行实际运算后得出的。主要：是指任何一个平面图中，至少包含有一个或二轮图、或三轮图、或四轮图、或五轮图。这是肯泊对四色问题证明的最重要贡献。这些构形图显然是互相独立的，只能分别证明，不可能统一证明，并由此肯泊分别证明了二轮图构形、三轮图构形、四轮图构形和没有双环交叉线路的五轮图构形，都是四色可染的。但是，这只是四色问题证明的初级阶段。以赫五德提出的有一个双环交叉线路的五轮图为标志，其后，证明进入了新阶段。整个证境发生了变化，拉开了终极证明四色问题的大幕。在这个新的证明阶段和新的局面下，需要进行新的观察，新的思考，新的探索，研究新的证略和证明方法，不宜“率由旧章”。现在讲构形，往往泛化了，甚至泛化到一图一构形。多龙治水，滞留在证明的近海混战、恋战。苦苦寻找各种构形的分类和证明，困于构图迷宫。先苦战一番，然后再见分晓，当然是有益的尝试，而且也难避免，但总要跳出来观察和思考啊！分类研究是认识和研究客观事物的重要方法。但在这里，我们是在讨论和研究四色问题的终极证明，即：四色定理是否成立。

试问：赫五德H一构形（环五轮图的双环交叉构形）本身就是在五轮图战略突破口，拉开了终极证明四色问题大幕的构形，为何不放眼新的证境，研究新的证略，而是＂率由旧章＂，坚持要用泛化了的构形证明理论将H一构型再次分类，而独独弃终极证明构形图这个大一统的构形（全盘扩容、重构和升级了的H一构形）于不顾，甚至一定要将它置于自己的分类证明构形图麾下？搞颠倒了啊！在逻辑上就说不通啊！不要醉心于构形分类证明理论，跳不出来啊！转移困局的证明理论当然是一个有价值的探索理论，但困局显然是双环交叉问题，本可与构建终极图相伴而行，为什么若即若离，避开敢峰终极构形图，同“四色妖魔”捉迷藏，困于构图迷宫？……我这个自嘲为“林冲误入白虎堂”，吃尽苦头的过来人，呼唤过多次了：要跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫。幸勿当作“耳边风”，借此文再呼唤一次吧！而且还要着重加上一句：跳出分类构形“漩涡”，摆脱图“图腾”。至于“补漏”理论，显然在认识上还滞留在原来的肯泊证明阶段。

当知：转型演绎，在构建终极构形图全程中，就是演绎筛法。它是在同“四色妖魔”博弈过程中，筛出和扬弃四色可解线路，用“四色不可解线路集”（即：环五轮图的全部双环交叉线路集合），构建大一统的终极构形图，使四色问题终于得证的“法宝”。在终极构形图中证明了四色定理，就是终极证明了四色定理成立。

当识、当悟：有一个双环交叉线路的五轮图只是＂冰山一角＂。大一统的环五轮图的全部双环交叉线路网络架构，就是原来隐藏在云雾中连为一体的“冰山”群啊！

（四）我用转型演绎构建终极图的运行过程是：从只有一个双环交叉线路的五轮图出发，在各步转型断开了原有的双环交叉线路后，出现了四色可解与四色不可解两种线路的选择。必须筛岀、扬弃四色可解线路，正确连接新的四色不可解线路（请注意：正确二字很重要），形成新的交叉环。这个过程，就是逐步解放＂四色妖魔＂的领地和形成、缩小对＂四色妖魔＂包围圈的过程。同时也是逐步筛出、扬弃H一构形中无环形链图形的过程。如此循环往复，经过20步对角转型演绎（四环演绎），或者60步邻角转型演绎（三环演绎），最后不可避免地用全部四色不可解线路，构建成功大一统宏观调控下的证明四色问题的终极构形图（即：环五轮图的全部双环交叉线路网络架构），并回归到原方位。此外，再也没有、也不可能有四色不可解的情况了。然后，才在终极构形图中开启正面证明。显然，四色定理是否成立，不可避免地在终极构形图中“一槌定音”。

形象地说，如果把终极图视为捕捉＂四色妖魔＂的“天网”，转型演绎（演绎筛法)就是编织“天网”的＂天蛛 ＂。

（五）转型演绎构建终极图的运行原理，就是各种双环交叉线路环五轮图运行时的可控换色原理。请注意观察：在构建终极图阶段，转型演绎在运行中所展示的，正是将平面上无尽的外向不可控证明，转换为大一统宏观调控下，有限和可视的综合调节证明之路。其运行形态是：在待填色区V与三圈之外的一个返回极点W之间，按照同一运行方向，于双环交叉线路转换时“一开一合，吐故纳新”运行之际（“开”就是先断开一个交叉环，“合”是再连接成一个新的交叉环），筛除四色可解线路，正确连接四色不可解线路。在此，我不厌其烦，还特别要再次强调：其中前三步是＂黄金三步＂的＂窗口期＂。要先立其大，确定外极点W，在待填色区V和外极点W之间，奠定终极图运行的大格局和对称的、规范的大＂证明场＂。不是有近路不走，无缘无故“绕大弯子”。否则，在此后的转型演绎中必定使终极图＂胎死腹中＂。这是用转形演绎构建终极图成败的关键。其后如遇有两条四色不可解线路图，则宜选短的线路。终极图的构建成功，确保最后不可避免形成环五轮图全部双环交叉线路的大循环。显示：此外没有（筛不出）也不可能有四色不可解的情况了。在构图过程中所有的这些运转变化，无一不是遵循可控换色原理。这是铁规。只要有一步不是，或者凑合，就整个“破功”。

转型演绎主要是为战胜＂四色妖魔＂和构建终极图应运而生的。相应地是，伴随四色定理的成立，使转型演绎获得了使任何五轮图四色可解的＂执行官"身份。如果视终极图为个别图，将转型演绎从终极构形图中游离出来，作为一种方法移植到转移困局和按构形分类的证明中，当然很好。但证略不对，不是用来构图，大才小用，龙困于潭。对四色定理的证明，可望而不可及。

（六）显然，按持续的转型演绎最终不可避免构成的图，就是在大一统宏观调控下证明四色问题的终极构形图。它将无尽平面上不可控的外向证明，转换为大一统宏观调控下，有限和可视的综合调节证明了。大一统的证明理论，终于落地生根，成为可操作和可辨识、可论证的证明现实：

（1）终极构形图的证明体制，就是大一统宏观调控下的综合调节体制。

（2）终极构形图的证明体系，就是环五轮图的全部双环交叉线路及其“克星”环（四色可解环）集合。特别是，在全部240步三环演绎中，除了＂开门见山＂的＂一槌定音＂的证明外，A一 B环、C一Ｄ环、Ｂ一C环、B一D环、A一C环、A一D环全部6个四色可解环（“克星”环）完备。毎一个环五轮图的双环交叉线路及其“克星”环，就是一个证明系列，在转型演绎中可全部出场，进行证明。…

（3）由于大一统证明体制和证明系列的确立，环五轮构形图全部双环交叉线路互联网的形成，终极构形图的证明机制和功能是自主、自为和全能型的。四色无不可证，而且从任何一个顶点都可以启证。从而使四色问题的证明，从自在的必然王国，进入了自为的自由王国。这就是在终极图中，全部双环交叉线路统一联网后的互联网效应。试问：在传统的证明理论和实证中，能够＂望其项背＂吗？要终极证明四色问题，舍此何求？

从构形论来说，敢峰终极证明图的构形，就是大一统的环五轮图的全部双环交叉线路的互联网构形 。即：扩容、重构和升级了的赫五德双环交叉线路构形。

从困局论来说，敢峰终极证明构形图的线路布局，就是全面和终极走出赫五德双环交叉五轮图构形证明困境的布局。

从补漏论来说，敢峰终极证明构形图的构建，就是对肯泊五轮构形证明的“女娲补天”。

“夸父追日”，正面求证四色问题不可得，何不反思和反向求之，迊头相会？

（4）终极图的图论框架，是“铁打的营盘，流水的四色棋子”。其任何一段线路，任何一个顶点，统统是不可避免形成的，不容许有任何实质性改变。当知任何改变终极构形图的线路和顶点，所形成的图，统统都是在构图过程中筛出、扬弃了的四色可解线路图。因此，这种改变就是意味着颠覆终极图，使所得到的证明不是终极证明。

附带说明：至于在终极构形图中插入＂构件＂，或连接新的线路，那是二次成图，是终极图中次1一n个层级的隐性线路的显现（犹如在世界疆域图中，对某个国家插进了省域和县域图）。无任何必要，不予理睬，一切严格按照终极构形图原线路进行可控换色，避免走进迷路，落入＂陷阱＂。对于植入插件或连接新线路的终极图，凡发现在转型演绎中与终极图原线路有异者，无一不是演绎上选择的线路有误，改变了终极图的构形。对插件中藏有＂木马＂者，要坚决取缔。（即：在插件中进行可控换色，使＂木马＂消失＂。或干脆直接拒绝插件）。

（5)终极图四色可解的换色程序，分为三类。A：在双环交叉五轮图中，当“克星”环（破解双环交叉线路的二色环）具有五轮沿（围栏）3个区大半环时的四色可解程序。（区是指五轮图围栏的顶点。顺便说明：我在这里用“区”，是表明五轮围栏的5个顶点是相邻的5个实际区域，与其外的二色线路寓意有别。在《一证》中，对五轮围栏我就是直接用区域图表示的。）在环内或环外进行二色互换，断开双环交叉线路，使图四色可解。 B：“克星”环具有五轮沿（围栏）2个区小半环时的四色可解程序。即：在环内进行二色互换，四色可解。C：至于“克星”环具有五轮沿（围栏）的3个区 ，但这3个区不全连接，则直接在环内或杯外换色，四色可解。属于＂肯泊链法＂。

（6）终极构形图的证明理论，前面已经充分论述，是大一统的全能可控调节理论。在终极构形图中，17个顶点的染色在可控条件下，都是可以改变的，导致四色定理无不可证。如果有一个顶点不是这样，就不是终极图。

终极构形图理论，是举世独树一帜的证明四色定理的理论。在终极构形图中不但率先证明了四色定理，而且通过各种证明，使四色问题从自在的必然王国，跨入了自为的自由王国。

试问：证明进入了这样的境界，难道还不足以言证四色问题吗？难道还可能再找出任何一个“反例”吗？如果疑及：为什么终极图中没有任何无环形链的构形图？回答是：举凡无环形链的构形，在构建终极图过程中是一种过渡性的不稳定构形，不可能同四色可解的环形链构形共处，在用转型演绎  (演绎筛法）构图过程中，前十五步所有的四色可解线路，统统不可避免被先期筛出、扬弃了，最后演变为有四色可解环的构形（见第十五步图）。它们是“过客。但是，它们在构建终极图过程中被筛除、扬弃的先期证明，同样包括在终极图证明中，是不可或缺的重要部分。任何无四色可解环构形的图，统统不是终极图证明四色问题的“反例”图或“漏证”图，而是在构图过程中筛出、扬弃了的可证图。（请注意：但这对终极图的形同质异图来说，则是致命的否定。因为它们没有这样的数学内涵。）拘于终极图构成后，没有再现无环形链构形及其证明，就再三断言终极图是个别图或类别图。这是一种“佯谬”。从认识论上说，就是“一叶障目”　啊！

或断言：在构建终极图过程中，所筛除和扬弃的无四色可解环构形，都是用肯泊链法破解的非双环交叉构形，并非无环形链的双环交叉构形。以此坚持认为终极图不过是一个个别图或构形分类图。奇怪了。转型演绎的每一步，都是从双环交叉线路的五轮图开始的。怎么只看后半步图，不看前半步图？

或质疑：在构建终极图过程中，对无四色可解环的双环交叉线路图，并未得到证明。是否“漏证”了？没有啊！在其后转型演绎的“一开一合，吐故纳新”中，继续对这些图开展“一分为二”的“进行时”证明。第十五步图a的既无A一B环、也无C一D环的图，就是最后一个这样的图，只不过：在第十五步转型演绎时终于转化为有四色可解环的双环交叉线路图。据此，也可认为：它是无四色可解环的终极图。怎能用孤立和静止的观点，来看这个问题？

或认为：在终极图中出现了无尽的大循环，因此，对终极图不能用转型演绎证明，只能用断链法（环内或环外换色）证明。这是错觉。如同环形电车，每一站都可下车，各自回家。转型演绎是运载工具。无论是否形成循环，在进行实际证明时，都可以对接换色程序。除非赖在車上，每一站都不肯下车。

最后，若问及2009年的《简证》中，为什么我将原一证中的一些复式终极图都略去了呢?其中有一些是与终极图不同的多次交叉线段。答曰：经证明，这些多次交叉线段是可以略去的多余线段（隐性线路）。我在1992年一证的“三阶证明”中，花费了很多时间和精力这样做，是为了“追穷寇到天涯”，一探究竟，故特意假设和制造各种障碍，不嫌麻烦，以详尽地进行终极探索式证明研究。最后，不但同样可以得到证明，而且这些多余的局部交叉线路都可以并桥、去点、撤线，回归为终极构形图。

对于四色问题证明，“四色妖魔”是极具发言权的，它就是直接的全程当事者和见证者。令人饶有兴味的是：在同“四色妖魔”的博弈过程中，“四色妖魔”在退却中竟然成为构建终极图和证明四色定理的实际引路者。在终极图构成后，“四色妖魔”终于转变为“四色仙子”，载歌载舞，逐一展现终极图的证明体系（环五轮图的全部双环交叉线路及其“克星”环），逐一代表证者具体指点破解方法。（详见三证：《五星图上“四色仙子”舞》。）从认识论来说，世间万象大概都是这样：未认知和掌控它时，可能成为“妖魔”。认知和掌控了它，就变成了“仙子”。

六、可控换色原理，是证明四色问题最基本的原理

在整个四色问题的证明过程中，贯穿着一根红线，就是可控换色原理。

可控换色原理，是证明四色问题最基本的原理。四色问题可证，就基于可控换色原理。否则，四色世界就会呈现为两极态：或者是死寂的世界，或者是混乱的世界。肯泊链法就是基于可控换色原理。转型演绎和在终极图中证明四色问题，所依据的都是可控换色原理。我原以为这是天经地义、众所周知的共识，看来实际上远非如此。由于可控换色原理，是我同一位资深证者，在绘制终极图的讨论与争论中明确提出的一个极为重要的概念，过去并未见这个提法，在此有必要作一点阐释：在构图和证明过程中，任何既定染色图形的变化、运行和证明，除了全图二色互相全换者外（这是毫无意义的），都必须严格在二色环形链的环内或环外进行，而且必须是在这个范围内或范围外全换，不能只换其中一部分。在构图过程中，止于相关色链上换色而不及其它，是一种失察和认知错误。因为有不明的各种隐线存在。用转型演绎构建终极图证明四色定理，就是把可控换色原理的运用发挥到了极致：按照同一个方向，持续进行交叉环的有序转移，围绕着五轮图运行，在这个过程中"一开一合，吐故纳新＂，一路筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，直到终极图构建成功。当知：任何关于四色问题的构图和证明，都必须建立在可控换色原理的基础上。肯泊链法是依据可控换色原理确立的，但也存在着局限性。只知只认和局限于肯泊链法，不明可控换色原理，曾经严重延迟了历史上对四色问题的证明进程。赫五德＂反例＂和Errera＂反例＂为什么迟迟得不到破解，就是明显的例证。至今仍存在这种情况，只知链上换色，不明可控换色原理，导致在构图和演绎过程中出现错误。对被置入了插件的终极图或形同质异图，在破解过程中，出现了异常现象，其原由也在不明或无视可控换色原理。只知其一，不知其二，被误导了。鉴于此，在图论中必须明确提出可控换色原理这个极为重要的概念。当知：离开了可控换色原理，四色问题是不可证和无法证的。可控换色必须在二色环内或环外全换，不能仅在有关色链上换色，更不能置可控换色原理于不顾，按主观需要换色。任何换色，都必须在可控条件下进行。否则，必岀现殃及全局的错误。

七、结语

综上，我终极证明四色问题有＂三宝＂：可控换色原理、转型演绎和终极图。如果要用一个公式来表述，即：

四色问题证明=可控换色原理+转型演绎+终极构形图

改用汉语拚音的首个字母，则为      S=K+2Z

其实证的验明公式为：

终极图的证明+构图过程中筛出、扬弃了的证明=全部证明

事实+理论+方法+逻辑，是最雄辩的。

在终极构形图中求证四色问题，无论四色定理是否成立，都是“一槌定音”的证明。既然在终极构形图中证明了四色定理成立，夫复何疑？

在终极图中，转型演绎又如同环行电車，可任意选站下車，直接对接染色程序（升级了的肯泊链法），使四色定理无不可证。

对于五轮构形的仼意图，转型演弈就是一柄使任何图四色可解的“钥匙”。在16步转型演绎之内，无图四色不可解。这是铁律。即：四色可解（可染）定律。

终极构形图是独一无二的。寓有它特定的证略、数学内涵和极其严格的构建过程。它的特性是：统一性、终极性、完备性、普适性和不可避免性。其体制和功能，是将无尽平面上的外向证明，转换为大一统宏观调控下，有限和可视的综合调节证明。其证明体系，是环五轮图的全部双环交叉线路及其“克星”环（四色可解环）的集合和统一。任何相似和“形同质异”图不具备上述证略、数学内涵和不可避免形成的图，或者说不清、道不明，只是画出了与终极图同样或相似的“空壳”图，在性质上统统不是终极构形图。要严格辨别，不能混为一谈，甚至竟然将敢峰终极图改名为Errera图。“张冠李戴”（将Errera图的帽子戴在敢峰终极图头上），移花接木（将敢峰终极图的证明和取得的数据，移接给Errera图），从而将敢峰终极图抛进太平洋。此何象耶？当知难免于有悖学术伦理之嫌。

在此，我郑重声明：终极图与Errera图无关。终极构形图就是在“山重水复疑无路”时，横空出世的敢峰图。立此存照。

我对数学四色定理的证明，从哲学和现代科学方法论的的视角观察，就是控制论、系统论、信息论三者的辩证统一，依据数学图论自身的运行変化规律和范畴进行的。转型演绎和演绎图论，大概就是数学界所期盼的新数学。从控制论而言，是大一统宏观调控下的综合调节。从系统论而言，是环五轮图全部双环交叉线路及其“克星环（四色可解环）形成的证明体系。从信息论而言，是全息建模，全息证明。即：全息建模，就是用转型演绎构建证明四色定理的终极图。全息证明，就是在终极图中，形成了全部双环交叉线路的互联网络。显然，无尽平面上极其复杂的四色问题证明，不可避免地纳入终极图之中矣。把所有这一切统一起来，形成证略，转化为实际证明，这就是运筹之功。古语曰：“运筹帷幄之中， 决胜千里之外”。从学术上说，即现代运筹学。

四色问题研究，并非与世无涉的“冷”问题。我视四色问题研究为“四色之学”。举凡当今经济、社会、环境、生态、安全、国家治理，以及国际风云等各个领域，就实质而言，各有其“四色问题”，即宏观调控与综合调节问题，都在大力投入研究。近年悄然兴起的“区块链”研究热，从数学图论的视角看来，似乎也牵涉到终极图中，区块内与相关区块之间的隐性线路，各形成其运行体系的问题，相关性极大。这是一方大有希望和亟待开发的新领域，但需严防在区块插件中植入“木马”。思之所至，姑妄言之。附及。

在本文中，我换用邻角转型演绎（三环演绎）重新构建终极图，再作一个將A、B、C、D四色直接填入待填色区V的证明。无须讳言：这是终极证明四色定理“登峰造极”的一次壮举。

中编   ：“登顶”进行曲             

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一、概要 

要终极证明四色定理这样一个世界顶尖级的数学难题，一定要有审时度势的大证明观和战略构想，一定要在探索中有新的重大发现，一定要有新的证明理论、证略和数学方法。整个证明“一条龙”。整个证境“一盘棋”。

（1）我终极证明四色问题的大证明观和战略构想是：将无尽平面上的外向证明，转換为大一统宏观调控下有限的、可视的、综合调节证明。

（2）我在探索中新的重大发现是：“四色妖魔”现象。

（3）我终极证明四色问题的思想路线和证略是：从新实际出发，确定“反求构图，正面证明”证略，跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫，＂直捣黄龙＂。

（4）我终极证明四色定理的新数学是：转型演绎和博弈图论。

（5）我终极证明四色定理的核心工程：是在反求思路引领下，用转型演绎（演绎筛法）一路筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，构建终极证明四色问题的终极构形图。即：在赫五德提出的只有一个双环交叉线路五轮图的基础上，将静态的可控换色原理转变和升级为动态的环五轮图的全程转型演绎，在同“四色妖魔”现象的博弈中，用连环式的全程转型演绎，在“一开一合”之际，一路筛除、扬弃了所有四色可解线路（即：提前全部筛出、扬弃无环形链构形的线路图），不可避免地形成环五轮图的全部双环交叉线路集合，构建成功大一统的证明四色问题的终极证明构形图。最后在终极图中不可避免地终极证明了四色定理成立。并据定理结合实证，转换为法则，确立了五轮构形任意图的四色可解（可染）定律。

（6）我终极证明四色定理的原理，说到底，是可控换色原理。

综上，我对四色定理的证明，其简明扼要的表述是：立足于前人已取得研究成果的基础上，从赫五德揭示的有一个双环交叉线路的五轮构形图（H一构形）出发，从战略高度进行通盘思考，确定：要把无尽平面上极其复杂的外向证明，转变为大一统宏观调控下“环型”的、可视的有限证明。正是由于在探索过程中发现了“四色妖魔”现象，确定了“反求构图，正面证明”的总体证略。从而，用反求思路与转型演绎，一路跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫，筛出、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，经过20步对角转型大演绎或60步邻角转型大演绎，最终不可避免地构建成功环五轮图的全部双环交叉线路集合图（整体扩容、重构和升级了的H一构形集），即：全部四色不可解线路集合图。名曰：终极构形图。（为了同其他相似图和形同质异图相区别，作为标识，当然也可称为敢峰图。）在终极图中：

（1）全图在全系列的转型演绎中（按顺时针方向转型演绎与逆时针方向转型演绎，两者是互为复归的），由于一路筛出、扬弃了四色可解线路（即无四色可解环的四色可解线路图），最终不可避免地出现了无尽的全图大循环。显然是在宣示：此外再也没有、也不可能有四色不可解的情况了。

（2）图的外圈为5点3色，与其外的一个极点W均有二色线路相连，从而将无尽平面上无限和极其复杂的外向证明，不可避免地转换为图内有限的、可视的、综合调节证明，形成了全图大一统的宏观调控体制。

（3）图内，＂开门见山＂，不可避免生成了以A一B环为主环的A一B与C一D两个套环。这赫然就是破解A一C与A一D双环交叉线路的四色可解环啊!（形象地说，就是＂克星环＂。）

（4）在终极图中，综合调节的原理，就是互联互通的互联网原理。在大一统的宏观调控下，所有环五轮图的四色不可解的双环交叉线路，通过在其“克星”环（四色可解环）内或环外可控换色，无一例外统统可以转换为四色可解线路，使四色可解。形象地说，终极图就是一架证明四色问题的“全能机器”。

终极构形图构成伊始，“开门见山”，图内就豁然出现了以A一B环为主环的A一Ｂ与Ｃ一Ｄ两个套环。哈哈！这似乎是“天降馅饼”。实际上是“水到渠成”，云散天开。无论在A一B环内或环外进行另二色互换，必定最终打破环五轮图双环交叉线路，使五轮图围栏由四色变为3色，将第四色填入待填色区V。

至此，终于“一槌定音”，使四色定理终极得证。而且，在图內通过转型演绎，每一步都必然对接换色程序，可以分别作出20个（对角转型演绎）、60个（邻角转型演绎）和全部240个（邻角转型演绎经过一次对角转换，将五轮图围栏上的双B分别改变为双C、双D、双A色型）证明。

240个证明，这是一个什么概念？＂满堂红＂，全证。而且，由于终极图的构形，是大一统的构形，在构图过程中因四色可解被筛出、扬弃了的线路图，其轨迹在终极图的构建过程中，都可以统一找到。

从图论上说，终极 构形图就是环五轮图的全部双环交叉线路集合图。其构形，是扩容、重构和升级了的大一统的赫五德H一构形，其实质就是全部四色不可解线路集合。即：环五轮图的全部双环交叉线路集合。）此外再也没有、也不可能有四色不可解的情况了。由于它是不可避免形成的，不言而喻，四色定理是否成立，在终极图中必然＂一槌定音＂。  

从实证上说，由于我在探索过程中，发现了＂四色妖魔＂现象，从而确定了＂反求构图，正面证明＂证略。转型演绎，在构图过程中就是演绎筛法。最终筛除了全部四色可解线路，出现了以A一B环为主环的A一B与C一D两个套环。在终极构形图中，四色定理终于得证。这是客观规律使然啊！

当知：终极图的大一统构形，其证明所覆盖的是无尽平面上的所有区域。同时还可以从任何顶点启证，得到四色可解。特别是直接将A、B、C、D四色，填入待填色区V的“登峰造极”证明。从而，使四色问题的证明，从自在的必然王国，跨入自为的自由王国。与四色定理同生共证的，是四色可解（可染）定律：在五轮构形的所有任意图中，都是四色可解（可染）的。其极限是16步转型演绎。一般四步之内四色可解（可染）。

二、登顶

我把对四色问题的终极证明，分为用转演绎构建终极构形图，和在终极图中证明四色定理两个战略阶段。最艰难的是构图。

转型演绎有对角转型演绎（即四环演绎，由A一C、A一D、B一C、B一D四个＂演员＂参加。）和邻角转型演绎（即三环演绎，由A一C、A一D、C一D三个＂演员＂参加。）两种。从赫五德只有一个A一C与A一D的双环交叉线路的五轮图开始，用哪一种转型演绎构建终图都可以，都是15步封网。按顺时针方向与按逆时针方向进行转型演绎都可以，两者互为同归，且可互相转换。

以前，我是用对角转型演绎(四环演绎）构建终极图，按顺时针方向进行的。下面，是我新用邻角转型演绎（A一Ｃ、A一D、C一D三环演绎），按逆时针运行方向构建终极图，和直接将A、B、C、D四色填入待填色区V的证明。

（一）用邻角转型演绎构建终极图。在此，预作说明：（1）除第一步外，都用a与b两个分图表示。a为双环交叉线路图，b在全图封网前为开放态的、同“四色妖魔”博弈时两种线路选择图。如此排列，意在突出两种线路选择。（2）要特别强调：前三步是＂黄金三步＂的＂窗口期＂，一定要形成待填色区V与外极点W之间的＂证明场＂大格局。否则在其后的转型演绎中，就会使终极图＂胎死腹中＂，构图失败。此为至要。（3）在构图过程中，如果b图中途形成双环交叉线路，则仍坚持循序进行转型演绎，不为所惑。（＂四色妖魔＂也会＂装死＂啊！＂）

下面进入构图阶段：

第一步，从赫五德H一构形只有一个A一C与A一D双环交叉线路的五轮图出发，在A一Ｄ环外进行B与C二色互换，断开了A一C环。五轮图沿（围栏）呈现全开放式的双B夹Ｄ色型，出现了连接A一Ｂ四色可解线路与连接C一Ｄ四色不可解线路的两种选择。（见第一步图）

第二步，据第一步图， 筛出、扬弃A一Ｂ四色可解线路。在A一B线路左外侧连接Ｄ一C环，形成D一C与D一A交叉 环。（请注意：连接右侧短D一C环为不可行。其后必跌入“四色陷阱，使证明“胎死腹中”。）在D一C环外进行B与A二色互换。五轮图围栏呈开放式双B夹C色型，面临Ｂ 一Ｄ四色可解线路与A一C四色不可解线路两种选择。（见第二步图） 

第三步，据第二步图b，筛出、扬弃B一D四色可解线路。在D一B线路右外侧连接A一C四色不可解线路，形成C一A与C一D交叉环。（在左侧连接Ａ一C环为不可取，其后必跌入“四色陷阱。”）在C一A环内进行B与D二色互换，五轮围栏呈开放式的双Ｂ夹A色型。面临B一C四色可解线路与A一D四色不可解线路两种选择。（见第三步图）

第四步，据第三步图b，筛出、扬弃B一C四色可解线路。连接A一D四色不可解线路，形成A一Ｄ与Ａ一C交叉环。在A一D环外进行B与C二色互换，五轮沿呈开放式的双B夹Ｄ色型。面临B一A四色可解线路与D一C四色不可解线路两种选择（见第四步图）

第五步，据第四步图b，筛除、扬弃B一A四色可解线路。连接左侧D一C环，形成D一C与D一A交叉环。在D一C环外进行A与B二色互换，面临B一D四色可解与Ｃ一Ａ四色不可解两种线路选择。（见第五步图）

第六步，据第五步图b，筛出B一D四色可解线路，连接A一C四色不可解线路，形成C一A与C一D交叉环。在C一A环內进行B与D二色互换，五轮沿呈开放式两可选择的双B夹A色型。面临B一C四色可解线路与A一D四色不可解线路两种选择（见第六步图）

第七步，据第六步图b，筛出、扬弃B一C四色可解线路。连接A一D四色不可解线路，形成A一D与A一C交叉环。在A一Ｄ环内进行B与C二色互换，五轮图先期呈现D一C与D一Ａ双环交叉线路。因构图尚未完成，需堅持继续进行转型演绎 的造图运动。（见第七步图）

第八步：据第七步图b，已先期连接成D一C和D一A双环交叉线路。在D一C环外进行B与A二色互换，五轮沿呈开放的双B夹C色型。面临Ｂ一D四色可解线路与Ｃ一A四色不可解线路两种线路选择。（见第八步图）

一A四色不可解线路，形成C一A与C一D交叉环。在C一A环外进行B与D二色互换，五轮图先期呈现A一C与A一D双环交叉线路。因构图尚未完成，仍需继续进行转型演绎。（见第九步图）第十步，据第九步图b，已先期连接成A一C与A一D交叉环。

在A一D环外进行B与C二色互换，五轮沿呈开放式的双B夹D色型面临B一A四色可解线路与D一C四色不可解线路两种选择。（见第十步图）

第十一步，据第十步图b，扬弃B一A四色可解线路，连接C一D四色不可解线路，形成D一C与D一A交叉环。在D一C环外进行B与A二色互换，五轮沿先期呈现C一A与C一D双环交叉线路。终极图尚未构成，仍需继续转型演绎。（见第十一步图）

第十二步，据第十一步 图b，已先期连接成C一A与C一D交叉环。在C一A环外进行B与D二色互换，五轮图呈现A一D与A一C双环交叉线路。仍需继续转型演绎。（见第十二步图）

第十三步，据第十二步图b，已先期连结成A一D与A一C双环交叉线路。在A一D环外进行B与C二色互换，五轮图先期呈现D一C与D一A双环交叉线路。仍需继续转型演绎。（见第十三步图）

第十四步，据第十三步图b，已先期连接成D一C与D一A的双B夹C色型。面临B一Ｄ四色可解线路与C一A四色不可解线路两种线路选择（见第十四步图）

第十五步，据第十四步图b，筛除、扬弃B一D四色可解线路。连接C一A四色不可解线路，形成C一A与C一D交叉环。在C一A环内进行B与D二色互换，五轮图呈现A一D与A一C双环交叉环。（见第十五图）

至此，终极图的全图双环交叉线路网络已连接完毕。

由此，步入全图封网后的演绎。因为五轮图的染色及其A一C与A一Ｄ双环交叉线路尚未回归初始方位，还继续有新图出现。

上述15步为第一站。其后，第二个15步为第二站，第三个15步为第三站，到六十步第四站演绎结束，初始的五轮图染色及其A一C与A一D交叉环线路，全部回归原位。终极图构建大功告成。与20步对角转型演绎构建的终极图完全一样。而且都是笫15步封网。按顺时针方向与按逆时针方向演绎是等价的。下面，是《一证》中按顺时针方向演绎的第15步、30步、45步、60步图：

此后，全图就正式开始了无尽的大循环。第十五步图、第三十步图、第四十五步图、第六十步图，就是终极图的四姐妹。转型演绎是封网进行，不会出现新情况和新问题，如法将60步演绎图在此全部列出，太长了，似无必要，故只将我在1992年《一证》中的四姐妺图作为代表列出。第六十步图就是基准的终极构形图。

（二）在终极图中，分別进行将A、B、C、D四色直接填入待填色区V的“登顶”证明。

（1）直接将A色填入待填色区V(即与V互换位置）：

第一步：在D一C—B一D一C一B三色环控制下，将A移入V区。移出后的区用0表示。见图1和图2。

第二步：在A一B环中，C与D互换，形成A一C与A一D两个非交叉环。见图3。

第三步：在0一A一D环中，将B换成C。在0一A一C环中，将B换成D。见图4。

第四步：在C一D一A环中，将B填入0区。见图5。

（2）直接将B色填入待填色区V：

第一步：在C一D环控制下，将B色填入V区，空出两侧的B为两个空白区0。见图6。

第二步：在A一B环（通过空白区0)中C与D互换，两侧分别形成B一D一A一D一A和B一C一A一C一A两个3色环。见图7。

第三步和第四步：分别在两个3色环中，将C色和D色填入两个空白区0。见图8。

(3）将C色填入待填色区V，原C区改为空白区0。

第一步，在A一B环控制下，将C移入V区。见图9。

第二步：在五轮图围栏新形成的A一D环（通过空白区0）外进行B与C二色互换，形成新的A一C环（通过0区）。见图10。

第三步：在新形成的A一C环（通过0区）外，进行B与D互换，形成新的D一C一D一C一A三色环，将0区包围。见图11。

第四步：在D一C一D一C一A三色环中，将B色填入0区。见12。

（4）直接将D色填入待填色区V：

第一步：在A一Ｂ环控制下，将D色移入待填色区V。原D区改为0区。见图13。

第二步：在五轮图沿新的A一C环外（通过0区），进行B与D二色互换，形成新的A一D环（通过0区）。见图14。

第三步：在新形成的A一D环（ 通过0区）外进行B与C二色互换,形成新的C一Ｄ一C一D一A三色环，将0区包围。见图15。

第四步：在Ｃ一D一C一D一A三色环中，将B色填入0区。见图16。

以上，确切无误和无可辩驳地说明和证明了，在终极图的的整体调控下，都可以自为地将四色中的任何一色直接填入待填色区V，使四色定理得到完美的证明。当初在五轮构形图中，看来很容易做到但却无法做到的事，现在终于全部做到了。

至此，当知当悟：反璞归真了。水落石出了。只此一个证明，其他证明统统可以不做了。各种争议、各种疑云都当烟消云散，一轮皓月当空。

在此，我兴有未尽：在终极图中，再作一个简单明了的与“登顶”证明比肩的“亚登顶”证明。“亚登顶”证明，形象地说，是“一弹四星”。即：在终极图的A一B环中，进行C与D二色互换后，将五轮围栏的双B分别换为D与C。这就是“导弹”三步发射升空”。“四星”分飞：（1）B星直接入主待填区V。（2）在新的右上方A一D环外，C与B二色互换，C星换去B入主V区。（3）在新的左上方A一C环外，D与B二色互换，D星换去B入主V区。（4）在图中心部位的C一D环中，A与B二色互换，A星换去B入主V区。“琼楼玉宇，高处不胜寒。”聊作此证明，以慰“四色仙子”寂寞。（证明简单明了。指明后，对照參阅前面的“终极图与得证图”，即可看明白）。

还需特别指明：在整个终极图中，从17个顶点的任何一个顶点启证，都可使四色定理得到证明。因为图中任何一个顶点都是终极图互相联通网络上的一个必不可少的顶点，没有一个不是证明线路上经过的顶点。改变任何一个顶点的颜色，都必然会启动和联通网络上证明四色定理的线路，使四色定理得证。“桂林有个象鼻山，多少游人醉其间。莫将漓江水吸尽，畄待他人来划船。”（《象鼻山》）在此一一列出，已无必要，研究者和有兴趣的读者不妨试试。尽管这样做不是不可或缺的，但所展现的正是终极图在四色证明中的互联网原理和功能，是四色问题在大一统宏观调控下自为的自由王国。

三、论证

（一）为什么在终极构形图中，证明了四色定理，就是终极证明了四色定理成立？其依据是什么？

答曰：终极构形图是终极证明四色问题的整体拓扑架构。因为终极图的构建和证明，在证略和实证上都已将无尽平面上极其复杂的外向证明，转换为大一统宏观调控下环型的、有限和有序的可视证明。终极构形图的证明体系就是环五轮图全部双环交叉线路及其“克星”环（四色可解环）的集合。这就是终极的回答。但是，还有一片历史上形成的疑云没有消散，即：通称的构形问题。如果要问构形，一句话，终极图就是大一统的环五轮图的全部双环交叉线路集合的构形。即：全盘扩容、重构和升级了的赫五德H一构形。（构形分类证明论者，恰恰把这个最重要的大一统构形漏了，或者误将它狭隘地硬塞进有A一B环的单一构形中。旧有的思维惯性使然，不识“庐山真面目”啊！）不言而喻，在终极图中证明了四色定理，就是终极证明了四色定理成立。但这样说，似乎还不足以驱散疑云。因为疑者在“开门见山”的终极图中，看到的就是只有A一B环和C一Ｄ环两个套环。这就明白揭示岀，疑者是用静止的观点看待终极图的。请看，在三证（《五星图中“四色仙子”舞》）的邻 角转型演绎中，有A一Ｃ环、有B一C环、有C一Ｄ环、有B一D环、有A一D环、有A一B环全部六个构形，不是象“孔雀开屏”那样，都联袂轮流登台“演出”了么？至于无四色可解环的构形，再说一遍，在构建终极图过程中因其四色可解，已先期被筛除和扬弃了，即：在构图过程中已先期证明过了。否则，在终极构形图中决不可能出现有环形链的四色可解图。这是铁的逻辑啊！在这里，要特别強调的是：要在无尽的平面上证明四色定理，核心问题是要全面、彻底破解环五轮图的双环交叉线路问题，不要被静止的按构形分类证明的疑云，遮挡了视野。

破解五轮图的双环交叉问题，现在看起来似乎并不难，只要分岀类別和找到其证明方法，问题就解决了。实际上极难。难在终极破解“四色妖魔”现象。这就是百余年来四色问题难解之谜。形象地说，就象中国古代传说中的孙悟空一样，会“七十二变”。你在这个山头捉住了他，他会又在另一个山头冒出来，跟你捉迷藏。怎么办？这就要布下天罗地网，用转型演绎构建大一统的终极证明四色问题的构形图。说穿了，就是要布下捕捉“四色妖魔”的天罗地网啊！我为什么在构图过程中，见四色可解而不解，在终极图不可避免构成之前绝不言证?“醉翁之意不在酒，而在山水之间也。”（古贤句）“四色妖魔”现象彻底消失了，成功构建了终极图，破解环五轮图的全部双环交叉的问题才能终极解决。

除了布下大一统的天罗地网，“四色妖魔”才不怕你这个构形、那构形的网。闹翻了天，＂四色妖魔＂仍然睡它的大觉，奈何不了它啊！因为它手中握有“一票否决”权。

当悟：要终极证明四色问题，需要“凤凰涅槃，浴火重生”啊!

（二）终极图是对赫五德H一构形的扩容、全盘重构与升级，有哪些重大变化呢？

（1）基础变了。从只有一个双环交叉线路的五轮图，演变为环五轮图的全部双环交叉线路的集成图。

（2）体制变了。从“多龙治水”的分別证明体制，演变为大一统的综合调节证明体制。

（3）运行机制变了。从手工作坊式的简单换色机制，演变为自主运行的转型演绎机制。

（4）证明功能变了。从只有A一Ｂ和C一D两个“克星”环和一个“既无A一B环也无C一D环”（或任何环形链都没有）构形的分別证明功能，升级为全部六个“克星”环联为一体的＂互联网＂证明网络，和“全图一盘棋”的无不可证功能。

（5）图的几何结构变了。从各种不稳定、无定形的结构，变为由17个顶点、45条边和30个面形成的超稳定拓扑结构：“铁打的营盘，流水的四色棋子”。四色定理是否成立，证明就在一图中。

总而言之：

终极构形图的证明体制，是在平面上无穷尽的区域图中，终极证明四色问题的大一统宏观调控与综合调节体制。

终极构形图的证明体系，是环五轮图的全部双环交叉线路及其“克星”环（四色可解环）的证明体系。

终极构形图的证明原理，就是可控换色原理。

在终极构形图中证明了四色定理，无可质疑，就是在无尽的平面上证明了四色定理成立。

这是不可撼动的终极证明和铁的逻辑。

（三）依据前述对四色问题的证略，和构建终极图证明四色定理的全过程，可以清晰看到：从只有一个双环交叉线路的五轮图开始，到构建终极图证明四色定理成功，有一个独具的、别开生面的“起、承、转、合”演绎逻辑链条：

（1）逻辑链条的起点，主要就是四色问题证明历史上具有战略突破口意义的五轮图，以及拉开终极证明大幕的有一对双环交叉线路的赫五德H一构形。由此出发，在整个过程中，整个证境都发生着巨大变化，直到最后四色定理证明成功，一以贯之的，说到㡳，就是可控换 色原理。

（2）逻辑链条中的“承”，是指：在继承前人研究的基础上，根据新阶段、新情况进行新的探索，确立终极证明四色问题的整体构思和䇿略路线（即证略）：“反求构图，正面证明”。纵观四色问题证明的历史，这是独一无二的，至今別无“分店”。它的“横空出世”，是由于：我在构图证明的探索过程中，发现了“四色妖魔”现象，才决然毅然把整个证明，严格划分为“反求构图”和“正面证明”两个战略阶段。终极图不立，绝不言证明。

（3）逻辑链条中的“转”，是指：据可控换色原理和终极证明四色问题的䇿略路线，进行环五轮图的全程转型演绎。转型演绎，一举突破了静态型归纳图论的局限，进入了动态的演绎图论领域，使我在构建终极图过程中，环五轮图一路同“四色妖魔”博弈，筛出、扬弃四色可解线路，跨越“四色陷阱”，远离构图迷宫。正是由于我在同“四色妖魔”的博弈中，跟踪追击，才迫使“四色妖魔”，在客观上成了构建终极图的实际引路者。

在这里，要进一步论证的是：我用转型演绎构建终极图和证明四色定理，其战略目标和总体构想，是要变无尽的外向证明为大一统宏观调控下的内向可视证明。如果这个构想是正确和成功的，必定在五轮图外有一个外极点Ｗ（回归顶点），同待填色区V形成两极，开辟一个对称的、规范的大＂证明场＂，使环五轮图的转型演绎在两个极点之间，按顺时针方向或逆时针方向持续进行。即：通过可控换色，先断开双环交叉中的一个环，出现四色可解与四色不可解两种线路选择，然后筛除、扬弃四色可解线路，正确连接四色不可解线路，形成一个新的交叉环，＂一开一合，吐故纳新＂，进行终极图的造图运动。中途拒绝诱惑，不走捷径，见了＂兔子＂也不撒＂鹰＂。否则，前功尽弃。这就确保了终极图的构建必定成功，同时也确证了转型演绎是构建终极图和证明四色定理的法宝。用转型演绎构建终极图，是证明四色定理历程中最重要、最复杂、最艰险、最漫长的一段征程：关山难越，是“四色妖魔”出没之地。当然也是证明四色定理中的决战阶段。精华所在，岂能无视。试问：不经过这个阶段所形成的图，怎能成为终极证明四色问题之图？天堑难越啊！当知当悟：终极图不是“画饼”，不是主观或凭天才画出来的，一笔也不行。否则，就不是终极图。可以断言：没有转型演绎，终极图是构建不成功的。形同质异图，说不清、道不明的图，统统不是终极图。置此于不顾，不加鉴别，何谈终极证明四色问题？

（4）逻辑链条中的“合”，是终极构形图。终极构形图是遵循可控换色原理，按“反求构图，正面证明”的证略，用转型演绎构建成功的大一统终极证明四色问题的核心工程。

它是由环五轮图的全部双环交叉环线路构成的，是扩容、重构和升级了的大一统的H一构形集。

它把四色问题从无尽平面上的外向证明，转换为大一统宏观调控下可视的有限证明。

它是一面具有普遍适应性和巨大弹性的线路网络，所涵盖的是从17个到无尽平面上的无数个任意区域。“普天之下 ，莫非王土”。（《诗经》）

它具有大一统的宏观调控体制和综合调节功能。构建终极图的全部四色不可解线路，在终极图中经过综合调节，统统变成了四色可解线路。在终极图中，有A一Ｂ环、有C一Ｄ环、有B一C环、有B一Ｄ环、有Ａ一C环、有Ａ一D环为“克星环”的全部六个构形，联袂轮流出㘯，如“孔雀开屏”，参加证明四色问题(详见《三证》）。在终极图中可以“开门见山”作出“一槌定音”的证明，可以作出20个、60个和全部240个证明。还可以从任何一个顶点启证，使四色问题得到证明。以至可以作出直接将A、B、C、D四色填入待填色区V的“登顶”证明，“亚登顶证明，以及从任何顶点启证都可得到证明，如入化境，返璞归真，使四色定理从自在的必然王国变为自为的自由王国。

终极图是独一无二的（尽管它可以表现为多种拓扑形态），是数学园地一枝璀灿的奇葩。

当知：终极图具有特定的数学内涵和终极证明四色问题的“身份”。从证明思路、证略到构图过程和在终极构形图中证明四色定理，从严格遵循可控换色原理到新的发现（“四色妖魔”现象）和创立转型演绎新的数学运行方法，从不可证的只有一个双环交叉线路的五轮图开始，到不可避免形成环五轮图的全部双环交叉线路集合，统一形成了完整的证明过程和完美的逻辑链条。脈络清晰，操作严格，无懈可击。不宜也决不应该将终极构形图同过去曾经出现过的相似或“形同质异”图，混为一谈，将一江证明的清水搅混。

从继承和发展的视角看，终极图就是H一构形（赫五德构形）的扩容、重构和升级。在终极图的构建过程中所交替出现的有双环交叉线路和无双环交叉线路两种情况，又包括了对Ｋ一构形（肯泊构形）的隔代传承和发展。终极构形图的证明，实际包括了对五轮图构形的全部四色问题证明。

总观四色问题的证明历程和以上所述、所证、所论，四色问题为什么能够得到终极证明？说到底，就是根据可控换色原理。肯泊用“肯泊链法”对前H一构形的证明是这样，在H一构形揭开了四色问题终极证明的大幕以后，仍然是这样。最大的不同是证明进入了新的阶段，整个证境大变，特别是出现了“四色妖魔”现象，一定要有全新的证略和证明方法的引领。否则，证明不可能成功。但可控换色原理，是“海枯石烂”始终不会变的，要找到新的形式把变与不变二者统一起来。从可控换色原理最简单的原生态开始，演变为环五轮图转型演弈的中的动态可控换色原理，再最后到终极图大一统宏观调控下的全域可控换色的互联网证明原理。这就是在终极证明四色问题中，两者的统一和升级过程。

有证者曾一再质疑：为什么终极图中没有既无A一Ｂ环也无C一Ｄ环 构形（或无任何环形链的构形）?并据此坚称终极图不过是一个个別图，并纳入其有A一B环构形之中。在此，我再公开集中进行一次囬答：无环形链构形是过渡性和不稳定性构形，同有环形链的构形不兼容，在用转型演绎构建终极图过程中，封网前所筛出、扬弃的全部就是无环形链构形。这些被筛出、扬弃的无环形链线路图，统统可以检视到。证理昭昭，实证确确，应该突破静止型归纳图论的局限和惯性思维方式，大步跨进演绎-博弈图论，开拓新的证明天地啊！

下编   ：辨异、四色可解定律及尾语

一、辨异：

凡不是按“反求构图、正面证明”证略所构建的图，即使图与终极构形图一模一样，但形同质异，不具有终极图的数学内涵，并不是终极构形图。只要问：图是不可避免形成的吗？证明了此外再也没有四色不可解的情况了吗？两者的区别就天上地下，截然分明。当知：四色问题证明，不能止于、囿于点、线、面关系的纯数学。即使同样的图，是可以具有不同“身份”的。不具备终极构形图“身份”的图，不能拿来同终极构形图混为一谈。同时，终极构形图也有双重“身份”：终极图与个別图。犹如一国的总统，既是国家元首又是公民。

1921年的Errera图（埃雷拉图）和1935年Kittell对Errera图的破解，近期经某些证者提出后，我从友人张彧典处得到了1998年2月发表在美国《数学月刊》上的《肯普再研究》全文（作者J·Hutchinson和S·Wagon，译者万春如）。据我对该文仔细辨析（Errera本人的原文未能见到，也不知是否存于世），确认：

（一）Errera图，原本是一个17个区域待染色的裸图。是按肯泊“算法”染色的任意个别图。它是作为肯泊证明的反例图之一流传下来的，自有它的价值在。现在看来，要对它染色并不难。它同敢峰不可避免构成的终极构形图，原本是“两重天”。这是首先在两图的成因和性质上，要严格划定的一条区别线。

（二）Errera图的裸图，按肯普（即肯泊）对任意地图如何具体染色的“算法”，进行染色后，形成了一个有双环交叉环的图。从文中染色后的图看，其构图与敢峰终极构形图相似，但严格地说，在图形上也并不是一个全同图。按用肯泊算法对裸图染色后的拓扑图形观察（见b图），峰点和整个图的方位与敢峰图顺时针相错72度，“牛头不对马嘴”啊！在敢峰20步转型演绎中，无论图怎么转型，两图总也对不到一起。特别是，具有决定意义的是：E一图永远也改变不了图本身就是一个任意图的性质，怎么能同敢峰终极构形图混淆，取代敢峰终极构形图？说到底，任何实际区域图都不是真正意义上的构形图。用肯普（即肯泊）对任意地图进行实际染色的“算法“，根本不可能构建出具有终极证明四色问题性质的大一统构形图。

有证者坚持认为：敢峰的终极证明构形图，同Errera图是一个图，只是画法不同。辨析：这不仅是单纯从形式上看问题，而且连E一图都未认真看清楚。根本问题是：E一图不是不可避免构成的，和不能证明此外再也没有四色不可解的情况了。这是要害，回避不了啊！

还有证者曾经提出：不管图是怎样构成的，只要能证明，就行。”这是一个认识误区，也是一个伪命题。图是怎样构成的，同能否终极证明四色问题，关系极大，怎能无视？在四色问题证明上怎么能置因果律于不顾？“对于Errera图来说，按肯泊算法染色后，由于出现了双环交叉线路，当时未能破解，是被视为肯普对四色问题证明的“反例”图流传下来的。确定无疑的是，其本身的性质，就是一个个别图。怎么能把它同终极图混在一起，不作辨析，就以Errera图出现在前为由，不分青红皂白，用Errera图取代敢峰终极构形图，也跟着将敢峰图抛进太平洋？

（三）《肯泊再研究》的作者据Kittell对Errera图的破解，对其原型地图的描述，明确无误是环地球的17个区域（国家），还特意把的裸图箍在了“地球”上。具体见原文图二）。赤道带有五个六边形区域(国家），南纬带和北纬带各五个五边形区域（国家），南极和北极各一个五边形区域（国家）。将球面图转换为平面图，就是一个四外为哈密顿圈的17个区域图（国家）。据此，从图的生成来说，纯粹是一个典型的个别图。敢峰构形图是这样的吗？破解了这个图，能被认为是证明了四色定理吗？

据此，也可以＂一槌定音＂，判定两者互不相干。

此外，就图形拓扑结构来说，一是：敢峰图所包含的是从17个区域到充分多的各种各样的区域。Errera图就只能是固定了的17个区域，其中的二色线路，均只能表为：两个顶点直接相连，就是 也只能是两个区域直接相邻。二是：如果要问，为什么在Errera图中，也会出现20步的大循环呢？答曰：那是Errera图17个区域封闭性的自恰表现，与终极构形图出现的大循环的数学内涵所同时具有具有的“此外再也没有四色不可解的情况了”，根本不同。三是：将E一图与赫五德“反例”的原图比对，虽同为区域图和肯泊证明的“反例”，图中都出现了交叉环，但两者在数学内涵上也有所不同。赫五德“反例”，其自身的区域所形成的二色线路是可以约减和变化的、没有外极点W的、可开放构形，由此拉开了终级证明四色问题的大幕。Errera“反例”，自身已固定为一个17个区域的封闭型图，＂木已成舟＂。如果还要＂打破砂锅＂问：＂你构建终极图，不也是只取了赫五德原图中的一个双环交叉线路，舍弃了其它线路吗？如果对Errera图也如法炮制，最后得出来的不就是Errera图吗？终极图不就是同样的图吗？笑答：E一图“木已成舟”。要重构当然也可以。那就不是走“过场”，而要按照敢峰的证明思路和证略整体重构了。而且还要有一个前提条件：首先要改变E图中二色线路的两个顶点相连即两个区域直接相邻的性质。这样，就能如同对H一构形图一样，经过转型演绎的整体重构、升级，最后得到的就不再是只有17个区域的Errera图了，而是敢峰终极证明构形图。这对Errera图絲亳无损，而是在四色定理证明新阶段的升华。E一图在四色问题证明史上，自有其地位和价值。从当前的情况来着，要终极证明四色定理，敢峰证明四色定理的终极构形图是避不开的。如果是(这里讲的是“如果”）硬要将敢峰终极证明构形图的“黄袍”，强加在Errera图身上，便于间接取己之所需，何苦乃尔！倘Ererra九泉之下有知，也会摇头的。

试问：Errera图的出现和对其破解在前，就能掩盖和取代终极构形图及其证明，甚至直接把敢峰图改称为Errera图，＂张冠李戴＂（将Errera图的帽子戴在敢峰终极图头上），＂移花接木＂（直接将敢峰对四色问题的证明和解析，说成是Errera图所固有的，转为己用…），这不是学术研究的科学态度和方式。往事已矣！但对这种误识、误解、误判和误导，怎能不辨析清楚？

话还要说回来，即使敢峰图同Errera图在形式上完全一样，其数学内涵也不同。图的性质、成因和数学内涵，同其“身份”和证明效力直接相关。既然是直接用作四色问题终极证明的主图，当然首先一定要弄明白证明思路和图是怎样构成的，辨明“身份”和证明效力。在这个问题上，含糊不得啊！

敢峰图不是“闭门造车”。证明四色问题的总体构想，在探索中的新发现，由此形成构图和证明思路、证略、构建终极图的方法和过程，以及最后的证明，都是独具一格，明晰可辨的。否则，也只能是个一般的个别图。在这个实质性问题上，敢峰构形图与Errera图是不一样的。为什么、怎么能把敢峰图所具有的一切，包括在转型演绎中所得到的数据，除了＂移花接木＂转移到Errera图中外，统统抛进太平洋？或者说关进“冷宫”。此何象耶？

再强调一遍：四色问题证明，离不开认识论和方法论。在四色问题证明中，即使是出现了形式上相似和同样的图（这并不奇怪），也可以具有不同的“身份”和数学内涵。不辨明不行啊！否则，证明就会形成“一江混水”。对于认识上的分歧，是难免的，需要讨论清楚，这是正常的，有益的，是互相切磋。此外也应当警觉：“混水可摸魚”。在学术界，此风不可长。不言明不行。这与求同存异，与比较研究，是两个范畴的问题。在此，我也绝无贬低Errera图和Kittell对Errera图破解之意。在四色问题探索和证明的历史上，这些图及其破解，自有其相应的价值。

因这个问题在网上出现后，久未见任何反应，特立此存照。否则则，不但我不高兴，Errera先生在地下也会不安的。我相信，他是反对＂张冠李戴＂和＂移花接木＂的，是会赞成我的意见的。尊重学术伦理的明白人，都会这样。往事已矣，说明白就过去了。希望以后不要再称敢峰的终极构形图为Errera图。

“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”。（先贤诗句）要证明四色问题这样顶尖的数学难题，没有战略思维、新的重大发现和数学图论的创新，仅就图论图，不行啊！不跨越“四色陷阱”和走出构图迷宫，不行啊！为静止型归纳图论所拘，离不开拓博弈型的演绎图论，不行啊！不行啊！

二、四色可解（可染）定律

（一）与四色定理同生共证的，是四色可解（可染）定律。它是四色定理的法则表现形态，当然也可以视为四色定理的引律。其原理，同样是环五轮图运行中的可控换色原理，其证明的运行形式显然同用转形型演绎构建终极图一样，通过可控换色对接四色可解（可解）程序，使任何五轮构形图四色可解（可染）。即：终极图是怎样构建的 ，就用同样的方法对任意图进行破解。

（二）四色可解（可染）定律的简明表述是：在五轮构形的任何图中，都是四色可解（可染）的。其极限是16步转型演绎。一般四步可解。其极限为16步的依据是：用转型演绎构建终极图时，15步出现A一B四色可解环和全图封网。笫十六步实际上就开始了终极图全图运行的大循环。因此，对任何五轮构形的图来说，在16步转型演绎之内，都必然对接染色程序，使图四色可解。无一例外。一般的图4步或3步转型演弈可染，是基于五轮图沿（围栏）每4步对角转型演绎或每3步邻角转型演绎，在五轮图围栏就出现一次小循环。

（三）对任意图的具体实证中，四色可解（可染）定律，是四色定理的总代表和“执行官”，将定理转换为法则，统一通过转型演绎必定可使任何五轮构形的图，在16步转型演绎的极限内（一般不超过4步），如“庖丁解牛”，统统得到四色可解（可染）。当知：转型演绎是不认具体构形的。任何构形的图，包括敢峰终极图在内，用转型演绎无不可解。除非赖在终极图的“环形电车”中，每“站”都不下车。以上，道理很简单。因为：

（1）终极图是用转型演绎构建成功的。认为终极图出现了大循环就不能用转型演绎证明，理由是不能“空出颜色”。这是误知和错觉。每一步转型演绎都可以使终极图对接换色程序，使四色问题得解。不能泥于肯泊链法，它也有不足啊！

（2）非终极图构形的任何图，统统是在构建终极图的过程中，被转型演绎筛出、扬弃的，不言而喻，当然能由转型演绎证明。

（3）用转型演绎构建终极图，无论对角转型演绎（四环演绎）还是邻角转型演绎（三环演绎），都是第15步构图“封网”，第16步就已进入了终极构形图疆域了。因此，用转型演绎破解任意图，其极限是16步转型演绎。无一例外。对此，至今所能找岀的所谓“反例”，不外乎在终极图中挿入构件（三边形板块中，次1一n级的线路），甚至内藏“木马”，是可以避开和破除的。不要为其所惑，跌入圈套。（四）以上，通俗地说：“解铃还需系铃人”，出门的路就是囬家的路。当然，进了家门还要走一、两步路（染色程序）。既然在构建终极图过程中，全部四色可解线路都是由转型演绎筛除和扬弃的，显然，由这些线路构成的图，统统都可以用转型演绎得到四色可解。在实证中只要应对得当，没有“反例”。置入插件的图，统统不是反例。

（五）如果脱离了或者回避终极图对四色定理的终极证明，四色可解（可染）定律无以为立。“皮之无存，毛将焉附？”具体的图是无穷尽的，永远也证不完啊！

如果要问四色可染（可解）定律的理论，就是与四色定理同生共证的“双子”理论。

最后，话还要再说回来。在终极证明四色问题过程中，是从只有一个双环交叉线路的五轮构形图启程的。从图论自身来说，关键是要解开上述的双环交叉线路问题。由于牵一发而动全身，变化多端，从而成为世界一大数学难题。从上述构建终极证明构形图及其证明来看，要注意的是：它还掲示了一个具有普遍性意义的无四色可解环的双环交叉线路变化定律。即：在转形演绎中，无四色可解环的双环交叉线路，一定发生异化。或中途自身蜕变为四色可解环，使图四色可解。或最后（16步之内)演变为有四色可解环的双环交叉线路，使图四色可解。正因为它毕竟是一种过渡性的构形，不是牢不可破的，只要证略和方法对，终能象“庖丁解牛”那样，在图论自身得到实实在在的四色可解的数学证明。

三、尾语

证明四色问题有什么用？对任何数学证明都不能用狭隘与近视的眼光看待。就四色问题来说，很明显，其实质和普遍价值就是大一统的宏观调控和综合调节之学。即：四色之学。诸凡在经济、社会、环境和国家治理、国际风云等诸多领域中，无不存在。而且当前是一个热门问题，实际上都在大力进行研究。期盼各界对数学四色问题的证明能予以关注。欢迎大家来＂划船＂啊！

平面图的四色问题证明了，在此基础上，相继还有一个三维空间“染色”的图论问题在等待着。这是一个新的更大挑战。谁能提出一个预见性的数学猜想和证明？翘首以待。

“重重叠叠上瑶台，几度呼童掃不开。刚被太阳收拾去，又教明月送将来。”（苏轼诗）。文中多处重复，有些也是有意为之。请见谅。

“嘤其鸣矣，求其友声”。（《诗经》）以上，恳望大家给予支持和指教。

（文中的图，系请雷明先生据草图绘制。）                                        

參考文献：《肯普再研究》（作者：Joan Hutchinson and Stan Wagon）。载《美国数学月刊》105卷第二期，1998年2月。万春如译。

编辑：念初心

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